Тази глинена плочка, направена някъде около 1800-1600 г. пр.н.е., показва,

Тази глинена плочка, направена някъде към 1800-1600 година пр.н.е., демонстрира, че античните вавилонци са можели да изчислят квадратен корен от две с акуратност до 99,9999%.

Как са го създали?

Какво в действителност демонстрира тази глинена плочка?

Нека стартираме с разшифроването на самата плочка. Тя е обозначена като YBC 7289 (съкратено от „ 7289-ти предмет от вавилонската сбирка на Йейл “). На плочката са изобразени квадрат, неговият диагонал и няколко числа, изписани върху него. Ето нейната стилизирана версия от книгата „ Епизоди от ранната история на математиката “ на Асгер Обо.

Както следва от Питагоровата теорема, дължината на диагонала на квадрата е √2. Нека разгледаме знаците!

На плочката има цифри, изписани с вавилонски клинописни числа. Те значат 1, 24, 51 и 10.

 

Тъй като вавилонците са употребявали бройна система с основа 60 (наричана още шестдесетична), десетичното число 1,24 51 10 значи 1,41421296296.

 

Това е равно на √2 с акуратност до шестия знак след десетичната запетая, което е 99,9999%!

 

Точността на изчисленията е невероятна. Опитайте се да го извършите без калкулатор, на хартия, и ще разберете, че това не е толкоз елементарно!

А ние ще ви разбираем по какъв начин са го създали.

Вавилонският логаритъм за изчисляването на корен квадратен

Сега ще изиграя ролята на магьосник: първо ще покажа логаритъма, а по-късно ще дръпна завесата и ще го обясня.

Започваме, като изберем случайно число x₀ сред 1 и √2. Знам, че наподобява инцидентно, само че дано не бързаме. Така да вземем за пример, такова число може да бъде 1,както и 2, което ще бъде нашата първа апроксимация.

Въз основа на това може да се каже, че 2/x₀ е по-голямо от √2.

 

Следователно интервалът  [x₀, 2/x₀] включва в себе си √2.

А от това следва, че междинната точка на интервала  [x₀, 2/x₀] е по-точна апроксимация на смисъла √2. Както се вижда на изображението по-долу, тя е значително по-добра.

Нека от това да изведем формулата на x₁.

Чрез нормално развиване и мащабиране на тази концепция можем да създадем една поредност от апроксимации, като всякога вземаме междинните точки на новите шпации.

Ето ги няколко от първите членове на тази поредност. Дори третият член е към този момент изумително добра апроксимация (приближение).

 

Ако изобразим тези цифри на диаграма на разпръскване, след няколко стъпки на процедура ще ни е нужен микроскоп, с цел да забележим разликите от √2.

Както може да се види, сходимостта към √2 е извънредно бърза.

Но какъв брой в действителност е бърза?

Погрешността на вавилонската апроксимация

Погрешността сред тази апроксимация и цената на √2 се дефинира просто като дистанцията сред тях, измерено посредством безспорната стойност на разликата им. Например грешката на първото ни съмнение e₀ се дефинира по следния метод:

Колкото и малко или огромно да е e₀, можем да го използваме, с цел да оценим последващите погрешности.

Нека се заемем с малко обикновена алгебра и да забележим по какъв начин e₀ се отнася към e₁! В началото дано да представим e₁ като дроб.

 

Тъй като сме избрали x₀ по-голямо от единица, можем да го изразим във връзка с e₁. Тъй като числителят на e₀ е на квадрат, задачата ни е не е комплицирана.

Повтаряйки тези разсъждения и дейности ще забележим, че сходимостта е доста бърза – по-бърза даже и от експоненциалната!

Дали вавилонците са имали шанс, или са уцелили в десетката?

Всъщност второто. Време е да вдигнем завесата!

Методът на Нютон-Рафсън

Нека да перифразираме задачата за апроксимацията на квадратен корен от две. Вместо да пресмятаме функционалността f(x) = √x в дадена точка, дано се опитаме да намерим (положителния) корен от f(x) = x² – 2. (Който, както се оказва, също е √2.)

Съществува ли систематизиран способ за решение на сходна задача? Да, това е методът на Нютон-Рафсън. За да покажем по какъв начин работи той, дано почти определим корена на f(x).

Графикът на функционалността f(x) = x² – 2

 

Как можем да се придвижим от началното съмнение за x₀ до корена?

Например можем да следваме посоката на допирателната и да забележим къде тя пресича оста Х. Тъй като ъгълът на тангентата (допирателната) се дефинира от производната, това секване може да се пресметна незабавно. Ще ви покажа по какъв начин да извършите това.

Уравнението на допирателната е заложено по следния метод

Като го приравним към нулата и го решим, получаваме точката, в която допирателната пресича оста Х.

По този метод, като изберем идващото съмнение за x₁ като тази точка на секване, получаваме по-точно (надяваме се) приближение.

Това е всичко! Въз основа на тази концепция можем да дефинираме една рекурсивна поредност.

 

Това се назовава Методът на Нютон-Рафсън. Предстои идната стъпка. Както можете да видите, още третата стъпка е съвсем √2.

Остава един значим въпрос: в действителност ли вавилонците са употребявали точно този способ? Да, и ето за какво.

Методът на Нютон-Рафсън и вавилонския логаритъм

В предходния образец взехме решение да намерим корена на f(x) = x² – 2. Нека да намерим явната формула за рекурсивната поредност, получена по метода на Нютон-Рафсън. Производната ѝ е лесна за изчисление, тъй че сме подготвени.

Като използван малко алгебра, можем да стигнем до не изключително изненадващо умозаключение.

Следователно вавилонският логаритъм е частен случай на метода на Нютон-Рафсън!

Помним, че сходимостта в този съответен случай е извънредно бърза. Дали това е правилно в общия случай? Ако имаме шанс.

Скорост на сходимост

Без да навлизаме в детайлности, сходимостта и нейната скорост зависят от локалното държание на функционалността.

Така да вземем за пример, в случай че f(x) е два пъти диференцируема, членът на грешката за n-тия детайл може да се опише от членовете на производната и квадрата на (n-1)-та погрешност.

Ако ви интересуват детайлностите, то доказателството в детайли е прегледано в Уикипедия.

По-специално, в случай че производните се „ държат добре “ (т.е. първата производна е отдалечена от нулата, а втората производна е ограничена), тогава скоростта на сходимост е квадратична.

Ако функционалността „ се държи добре “

Квадратичната сходимост е вярна освен за намирането на квадратен корен от двойката посредством апроксимиране на позитивния корен от f(x) = x² – 2, само че и за необятен кръг от други функционалности.

Недостатъците

За страдание, не всичко е съвършено. Методът на Нютон-Рафсън може да докара до съществени неточности в много постоянно срещани случаи, а също по този начин има и доста дефекти.

Така да вземем за пример, в случай че функционалността в съседство с корена е „ плоска “, сходимостта ще бъде трудно мудна. Един подобен случай е показан по-долу.

Това се случва, когато коренът има огромна увеличена нееднозначност, което значи, че производните също са равни на нула. Като приказваме за производни, за разлика от случая с вавилонския квадратен корен, те могат да бъдат сложни за пресмятане, заради което в тези случаи този способ е неупотребим.

Освен това целият развой е мощно подвластен от първичното съмнение: една итерация може да докара до неправилен корен и даже да се размине с истината.

Изводи

Това, че античните вавилонци са могли да изчислят √2 до шестия знак след десетичната запетая, е много учудващо. Тази акуратност буди огромно почитание, изключително като се има поради, че е реализирана преди съвсем четири хиляди години и изчисленията са правени на ръка.

Оказва се, че те не просто са имали шанс, а са разкрили частен случай на мощен способ, кадърен да апроксимира корена на необятен набор от функционалности. Днес той е прочут като метода на Нютон-Рафсън.

Принципът не е комплициран:

Приема се първичната стойност на x₀ Временно се заменя функционалността с допирателната в x₀ Определете къде допирателната пресича оста X Използва се пресечната точка x₁ като нова начална точка на процеса

Ако функционалността се държи задоволително добре (т.е. производната ѝ е локално отделена от нулата, а втората производна е ограничена), сходимостта е извънредно бърза: ето за какво вавилонците са съумели да реализират „ най-високата изчислителна акуратност в античния свят “.