На 23 юни 1993 г. математикът Андрю Уайлс (на снимката)

На 23 юни 1993 година математикът Андрю Уайлс (на снимката) изнася последната от три лекции, в които в детайли разказва своето решение на Последната теорема на Ферма – проблем, останал неуреден в продължение на три и половина века. С това Уайлс провокира сензация както в математическата общественост, по този начин и в медиите.

Освен че дава приемливо решение на доста остарял проблем, работата му бележи знаков миг в основаването на мост сред две значими, само че на пръв взор доста разнообразни области на математиката.

Историята демонстрира, че доста от най-големите пробиви в този предмет са свързани с установяването на връзки сред видимо разнообразни негови клонове. Тези мостове разрешават на математиците да придвижват проблеми от единия в другия и по този начин да получават достъп до нови принадлежности, техники и прозрения.

Чешка пощенска марка, отдадена на доказателството на Уайлс

Последната теорема на Ферма е сходна на Питагоровата теорема, която гласи, че страните на всеки правоъгълен триъгълник дават решение на уравнението x2 + y2 = z2.

Всеки триъгълник с друга величина дава друго решение и в действителност има безпределно доста решения, при които и трите цифри x, y и z са цели цифри – най-малкият образец е x=3, y=4 и z=5.

Последната теорема на Ферма е за това какво се случва, в случай че експонентата се промени на нещо по-голямо от 2. Съществуват ли целочислени решения на уравнението x3 + y3 = z3? Какво става, в случай че експонентата е 10, 50 или 30 000 000?

Около 1637 година Пиер дьо Ферма твърди, че отговорът е „ не “ – няма три цели позитивни цифри, които да са решение на xn + yn = zn за всяко n, по-голямо от 2. Френският математик надраскал това изказване в полето на своя образец от учебник по математика от антична Гърция, заявявайки, че има отлично доказателство, което полето е „ прекомерно тясно, с цел да побере “.

Това доказателство по този начин и не е открито, а неговата „ последна теорема “ от полето, оповестена посмъртно от сина му, тормози математиците в продължение на епохи.

През идващите 356 години никой не съумява да откри изчезналото доказателство на Ферма, само че и никой не може и самичък да потвърди, че той бърка. Теоремата бързо се снабдява с репутацията на извънредно сложна или даже невъзможна за доказване, като са показани хиляди погрешни доказателства. Тя даже получава място в върховете на Гинес като „ най-трудната математическа задача “.

Това не значи, че не се отбелязва прогрес. Самият Ферма я потвърждава за n=3 и n=4. Много други математици, измежду които и Софи Жермен, способстват с доказателства, само че единствено за обособени стойности на n.

Това обаче не е задоволително за математиците – те желаят да се потвърди, че тя е вярна за всичките безпределно доста цифри по-големи от 2 по едно и също време. В продължение на епохи обаче наподобява, че такова доказателство не може да бъде открито.

Въпреки това към края на 20 век от ден на ден писания подсказват, че теорема би трябвало да е вярна. В основата на това умозаключение е така наречен теорема за модулност, известно също като хипотезата на Танияма-Шимура.

Тази теорема предлага връзка сред два видимо несвързани математически обекта: елиптични криви и модулни форми.

Елиптичните криви не са нито елипси, нито криви. Те са пространства с форма на поничка, в които се намират решенията на кубични уравнения – като да вземем за пример y2 = x3 – 3x + 1.

Модулната форма е тип функционалност, която приема избрани сложни цифри – цифри с две елементи: действителна и имагинерна част – и извежда друго сложно число. Това, което прави тези функционалности специфични, е, че те са мощно симетрични, което значи, че има доста условия за това по какъв начин могат да наподобяват.

Няма причина да чакаме, че тези две понятия са свързани… само че точно това допуска теорема за модуларност.

Изглежда, че теоремата не споделя нищо за уравнения като xn + yn = zn. Но работата на математиците през 80-те години на предишния век сподели връзка сред тези нови хрумвания и остарялата теорема на Ферма.

Първо, през 1985 година Герхард Фрей осъзнава, че в случай че Ферма е сбъркал и може да има решение на xn + yn = zn за някое n, по-голямо от 2, това решение би дало особена елиптична крива. След това през 1986 година Кенет Рибе демонстрира, че такава крива не може да съществува във галактика, в която е вярня и теоремата за модуларност.

Уайлс работи в продължение на 7 години, най-вече скрито, в опит да потвърди тази сложна догадка. До 1993 година той към този момент е покрай това да потвърди специфичен случай на теоремата за модуларност – което е всичко, от което се нуждае, с цел да потвърди последната теорема.

През юни 1993 година той показва работата си в поредност от лекции в Института „ Исак Нютон “. Последвалата критика открива пропуск в доказателството му, само че Уайлс и някогашният му студент Ричард Тейлър работят още една година, с цел да запълнят този пропуск и да затвърдят последната теорема на Ферма като математическа истина.

Но какво от това…

Последиците от последната теорема на Ферма и нейното решение не престават да се отразяват в света на математиката. През 2001 година група откриватели, измежду които и Тейлър, дават цялостно доказателство на теоремата за модуларност в поредност от публикации, въодушевени от работата на Уайлс. Този приключен мост сред елиптичните криви и модулните форми е бил – и ще продължи да бъде – основополагащ за разбирането на математиката, даже и след последната теорема.

Работата на Уайлс е избрана за „ нова епоха в теорията на числата “ и е в основата на значими елементи от актуалната математика, в това число в техника за криптиране и големи проучвателен старания, известни като Програмата Лангландс (Langlands program), която има за цел да построи мост сред две фундаментални области на математиката: алгебрична доктрина на числата и съразмерен разбор.

Въпреки че Уайлс работи най-вече изолирано, в последна сметка той се нуждае от помощта на сътрудниците си, с цел да разпознава и запълни празнината в първичното си доказателство. Днес математиката все по-често е взаимно начинание, за което свидетелстват напъните, нужни, с цел да се приключи доказването на теоремата.

И най-после – в действителност ли Ферма е имал доказателство на последната си теорема, както твърди в поленцето? Много математици не имат вяра, че е по този начин. Въпреки че Ферма е бил талантлив, той от време на време е бъркал. Може да се одобри, че той е вярвал, че има доказателство, само че е малко евентуално доказателството му да издържи на актуалната инспекция.