На 16-годишна възраст американският математик Рей Соломонов си поставя изумителната

На 16-годишна възраст американският математик Рей Соломонов си слага изумителната цел да открие способ, който може да реши всеки теоретичен проблем. Докато множеството младежи мечтаят за по-земни неща, упоритостта на Соломонов е да създаде логаритъм, който да може да изясни всички феномени в света благодарение на елементарни модели. Тази амбициозна концепция довежда до основаването на напълно нова област на научните проучвания, която може систематично да търси модели в данните и да разкрива скритите процеси, определящи структурата на нашия свят.

Въпреки че тези хрумвания може да наподобяват на актуалните техники за основаване и потребление на изкуствен интелект, Соломонов ги формулира за първи път още през 1942 година, доста преди появяването на първите ИИ логаритми. Неговият метод се основава на правилото на бръснача на Окам, съгласно който най-простото пояснение на всяко събитие нормално е най-правилното. Този принцип се употребява интензивно от физиците при търсенето на формули, които разказват допустимо най-вече физически процеси с минимална трудност.

Соломонов се стремял да сътвори набор от правила или логаритъм, който да разпознава най-простите връзки в данните. Той има вяра, че с негова помощ може да се изясни всичко. Така да вземем за пример, в случай че запишете траекторията на полета на хвърлена бейзболна топка, бихте могли да предложите доста математически формули, които да опишат придвижването ѝ. Най-простият закон обаче евентуално ще бъде верният – законите на Нютон, описващи взаимоотношението сред силата на мятане и силата на тежестта, настояща върху топката.

Затова Соломонов желае да откри предписание, което да му даде опция да избере допустимо най-простото пояснение. Това предписание би могло да се трансформира в компютърна стратегия, в която да се зареждат данните, а на изхода да се извежда най-простото пояснение на данните. Такава стратегия би могла да бъде същинска „ машина за чудеса “.

Проблемът с определянето на „ простотата “

Все отново си коства да се означи, че стратегия, способна да откри най-простите пояснения, в никакъв случай не е създавана и евентуално в никакъв случай няма да бъде основана. Въпреки това точно тези хрумвания на младежа Соломоноф сложиха началото на ново направление в науката, което изследва природата на случайността и сложността. Както постоянно се случва в естествените науки, сходни мисли се появяват и при други откриватели по това време.

Един подобен откривател е съветският (1903 г.) математик Андрей Колмогоров, който се концентрира върху вероятностите и инцидентните цифри. Той се интересувал от това по какъв начин може да се дефинира дали обещано изложение на събитие е просто или комплицирано.

Така да вземем за пример, в случай че ви бъде показано цифрата 25 041 903, то може да наподобява инцидентно на пръв взор. Има доста способи да се изясни произходът му: може да е резултат от генератор на инцидентни цифри или да е произведение от простите цифри 3, 61 и 136 841. Или пък може да се окаже, че това число заема несъмнено място в безкрайната поредност на пи, или пък да е обвързвано с рождената дата на Колмогоров – 25 април 1903 година Кое от тези пояснения наподобява най-просто? За всеки човек отговорът може да е друг.

Колмогоров е създал справедлив способ за установяване на сложността на обектите. Така наречената трудност на Колмогоров на едно число се дефинира от дължината на най-кратката компютърна стратегия, която може да го пресметна. Колкото по-кратка е програмата – толкоз по-просто е цифрата.

Само че сложността на Колмогоров зависи от потребления език за програмиране. Програма на Python може да бъде по-кратка от програмата на C++ и противоположното. Всяка компютърна стратегия може да бъде изразена в машинен код – поредност от нули и единици. Дължината на най-кратката поредност от нули и единици, която разрешава на компютъра да пресметна мечтаната стойност, подхожда на сложността на Колмогоров на това число.

Така, с цел да изчислим сложността на Колмогоров на цифрата 25 041 903, можем да приведем разнообразни пояснения на това число (например посредством елементарни цифри или позиция в цифрата Пи) в компютърни стратегии и да преброим броя на знаците в съответния машинен код.

Парадоксът, който унищожи фантазията

На пръв взор може да наподобява, че фантазията на Соломоноф е осъществена благодарение на сложността на Колмогоров – в последна сметка тя дава опция да се разпознават модели в случайни данни. По този въпрос обаче поражда абсурд, който унищожава концепцията за основаване на повсеместен логаритъм. Този абсурд е разказан за първи път от философа Бъртранд Ръсел, който през 1908 година го приписва на библиотекаря Х. Г. Бери.

Един образец за парадокса на Бери може да бъде разказан по следния метод: Да предположим, че имаме речник от 20 думи, с които се опитваме да опишем разнообразни цифри. Можем да стартираме с елементарни комбинации от тези думи, с цел да дефинираме последователно числата, както предлага Колмогоров със своите стратегии. Но броят на комбинациите е стеснен, а числата са безпределно доста. В последна сметка ще се сблъскаме с число, което не може да бъде разказано с 20 думи. Но какво ще стане, в случай че опишем това число като „ най-малкото число, което не може да се опише с 20 или по-малко думи “? В този случай определението на това число се състои единствено от 12 думи, което основава несъгласие.

Парадоксът на Бери демонстрира, че е невероятно да се дефинира какъв брой думи (или програмни символи) са нужни, с цел да се опише едно число. Това е по този начин, тъй като математиката е непълна – някои истини в нея просто не могат да бъдат потвърдени.

Да предположим, че съществува стратегия K, която пресмята сложността на Колмогоров за всяко число. Да предположим, че програмата се състои от един милион признака. Можем да въведем всички вероятни цифри в програмата, до момента в който намерим едно огромно число x, чиято трудност е два милиона признака. Сега можем да създадем нова стратегия P, която да премине през всички вероятни низове и да употребява програмата K за пресмятане на сложността на тези низове, до момента в който откри низ с дължина два милиона признака. Програмата P, зависеща от програмата K, ще има дължина по-малка от два милиона признака, което ще сътвори несъгласие – програмата с по-малка дължина ще пресметна число с по-голяма трудност.

Така стигаме до заключението, че не може да съществува стратегия K, която да пресмята сложността на Колмогоров за всяка входна стойност.

Въпреки всичко фантазията продължава да живее

Въпреки че фантазията на Соломоноф да сътвори повсеместен логаритъм за решение на всички задания се оказва неосъществима, концепциите му не престават да намират приложение. В множеството случаи не се изисква тъкмо пресмятане на сложността на Колмогоров – задоволителни са приблизителни способи. Един подобен способ е потреблението на стратегии за компресиране на данни, като да вземем за пример gzip. Така да вземем за пример, в случай че желаеме да разберем дали две числови последователности са свързани, можем да ги компресираме поотделно и дружно. Ако компресията на комбинираната поредност е съвсем идентична с компресията на всяка от тях, това може да значи, че сред тях има връзка.

Сложността на Колмогоров също може да помогне за установяване на случайността на дадена числова поредност. Например три осемцифрените цифри – 25 041 903, 47 395 929 и 10 101 010 – биха могли да бъдат генерирани от генератор на инцидентни цифри, само че всяко от тях има друга характерност: едното число съставлява дата, а другото има явен повтарящ се модел. В такива случаи е допустимо да се оцени до каква степен тези цифри следват избрани модели, с цел да се ревизира надеждността на генератора на инцидентни цифри.

Така, въпреки че сложността на Колмогоров не може да даде отговор на всички загадки на Вселената, концепциите на Соломоноф и Колмогоров не престават да оказват въздействие върху математиката и информатиката, като оказват помощ за решаването на голям брой извънредно комплицирани проблеми, въпреки и не по универсалния метод, за който е мечтал Соломоноф.