Новото поколение математици разкриха нова глава в изучаването на простите числа
Оригиналът е на Erica Klarreich
Даниел Десподов преди 40 секунди 1 СподелиНай-четени
IT НовиниСветослав Димитров - 14:11 | 01.11.2023Започва всеобщото разпространяване на вируса Ghostpulse – той се маскира като инсталационен файл на приложение
IT НовиниДаниел Десподов - 9:55 | 03.11.2023Южното полукълбо постепенно изсъхва, оповестяват учени
IT НовиниЕмил Василев - 15:07 | 03.11.2023Рекламните „ репресии “ на YouTube провокираха рекорден брой деинсталации и съоръжения на адблокери
Даниел Десподовhttps://www.kaldata.com/Новинар. Увличам се от модерни технологии, осведомителна сигурност, спорт, просвета и изкуствен интелект.Преди повече от 2000 години гръцкият математик Ератостен е създал способ за намиране на елементарни цифри, наименуван „ ситото на Ератостен “ (на някои места решетото на Ератостен), който е годен и до през днешния ден. Идеята му е да дефинира простите цифри до даден стадий, като последователно „ отсява “ тези, които не са такива. Елиминирането стартира със зачеркването на всички цифри, делящи се на 2 (с изключение на самото 2), по-късно на делящи се на 3 (с изключение на 3). Следващото число, 4, към този момент е зачеркнато, тъй че идната стъпка е да се зачеркнат всички цифри, делящи се на 5, и по този начин нататък. Всички останали най-сетне цифри се смятат за елементарни, т.е. такива, които се разделят единствено на 1 и на себе си.
Ератостен е работил с целия набор от елементарни цифри, само че вие можете да употребявате разновидности на неговия способ, с цел да намерите такива, които ще имат специфични свойства. Искате да намерите „ близнаци “, които се разграничават единствено с 2 единици, като 11 и 13 или 599 и 601? Има решето за това. Интересувате се от простите цифри, които са с 1 единица повече от цялостния квадрат, като 17 или 257? Има отсяване и за това.
Съвременните способи за отсяване са катализирали огромни открития в теорията на числата – от Великата теорема на Ферма до недоказаната до момента догадка за двойките елементарни цифри, съгласно която съществуват безконечен брой двойки такива близнаци. Методите на отсяване, разказани от унгарския математик Пол Ердос през 1965 година, „ са може би най-мощният обикновен инструмент в теорията на числата “.
Въпреки че тази мощ е лимитирана от степента, в която математиците схващат по какъв начин се разпределят простите цифри по оста на числата. Не е мъчно да се извърши отсяване в границите на малко число, да вземем за пример до 100. Но математиците желаят да схванат по какъв начин работи процесът на отсяване за по-големи цифри. И те не могат да изведат всички цифри, оставащи след отпадането, до някаква последна стойност. Вместо това те се пробват да преценяват какъв брой цифри почти ще попаднат в този лист.
В случая с отсяването на Ератостен тази оценка ще зависи от това какъв брой постоянно задачите цифри се разделят на 2, 3, 5 и така нататък Тази информация е относително лесна за схващане и приемане. Ако става дума за по-сложни схеми, както в тази ситуация с близначните елементарни цифри, най-важната информация постоянно е обвързвана с остатъците от деленето на елементарното число на разнообразни цифри. Така да вземем за пример, какъв брой постоянно разделянето на едно просто число на 3 дава излишък от 1? Или излишък от 8 при разделяне на 15?
Напредвайки от ден на ден по числовата ос, тези останки се подреждат в статистически предсказуеми модели. През 1896 година белгийският математик Шарл Жан дьо ла Валие-Пусен потвърждава, че остатъците последователно се изравняват – да вземем за пример, в случай че поставите простите цифри в една от две кошници според от остатъка при разделяне на 3 – 1 или 2 – най-после ще получите почти еднообразно количество цифри в двете кошници. Но с цел да се разкрие цялостният капацитет на методите за отсяване, не е задоволително математиците да знаят, че наличието на кошниците последователно се изравнява, те би трябвало да схванат и по какъв начин става това.
Изясняването на това се оказа мъчно. След два огромни пробива – през 60-те и 80-те години на предишния век – новите проучвания значително затихнаха. Поразително изключение настъпи през 2013 година, когато Итън Джан разгласява своето историческо доказателство за съществуването на безпределно голям брой от двойки елементарни цифри, които са по-близо едно до друго, в сравнение с до някаква последна граница. Но в главната научна работа, показана през 80-те години на ХХ век, в продължение на над 30 години по този начин и нямаше осезателен прогрес.
Сега обаче и точно тази тема претърпява подем, подхранван от поредност от три публикации, написани от оксфордския математик Джеймс Мейнард през 2020 година (две години преди той да завоюва Филдсовата премия – най-високото отличие в региона на математиката, аналогична на Нобеловата награда). Мейнард проучва число, наречено „ равнище на систематизиране “, което отразява какъв брой бързо остатъците от разделяне на елементарни цифри доближават отмерено систематизиране по по този начин наречените кошници (понякога благодарение на характерни способи за елиминиране). За редица типични способи той сподели, че равнището на систематизиране е най-малко 0,6, с което надмина предходния връх от 0,57, подложен през 80-те години на ХХ век.
„ Работата на Мейнард и последвалите проучвания, подхранвани от нея, „ вдъхват нов живот на аналитичната доктрина на числата. – споделя Джон Фридлендър от Университета в Торонто, който е взел участие в проучванията, извършени през 80-те години. – Това е същинско възобновление “.
През последните няколко месеца тримата някогашни студенти на Мейнард разгласиха публикации, в които уголемяват резултатите, получени от Мейнард и Жанг. Една от тях, написана от Джаред Дюкер Лихтман (сега постдокторант в Станфордския университет), уголемява откритото от Мейнард систематизиране до 0,617. Използвайки това нарастване, Лихтман след това пресметнал по-точни горни граници на броя на двойните елементарни цифри до откритата последна точка, както и броя на “ представянията на Голдбах “. – Представяния на четните цифри като сума от две елементарни цифри.
Увеличението от 0,6 на 0,617 може да наподобява малко за хората, които не са осведомени с теорията на числата. Но в теорията на отсяването Гранвил споделя, че „ от време на време тези скромни победи могат да имат поразителни последствия “.
Включване и изключване
За да преценяват какъв брой цифри са отстранени до крайната точка N, математиците употребяват метод, учреден на така наречен включване/изключване. За да го разберем, дано разгледаме елиминирането (отсяването) на Ератостен. Той стартира с премахването на всички цифри, делящи се на 2, което е към половината от числата до N. След това се отстраняват всички стойности, делящи се на 3 – още към 1/3 от всички цифри до N.
И тук може да си помислите, че до този миг сте отстранили към 1/2 + 1/3 от всички цифри до цената N. Но това е надценяване, защото преброявате двойно числата, които са кратни на 2 и 3 (кратни на 6). Те са към 1/6 от целия диапазон до N, тъй че, с цел да компенсирате това двойно преброяване, би трябвало да извадите 1/6, като получите общата формула 1/2 + 1/3 – 1/6.
Сега можем да преминем към числата, които се разделят на 5 – тъй че прибавяме още 1/5 към общата сума, само че тук би трябвало да извадим 1/10 и 1/15, с цел да отчетем повторенията на числата, които се разделят на 2 и 5 или на 3 и 5. И даже това не е всичко – инцидентно сме преброили двойно повторенията, които се разделят на 2, 3 и 5. За да изправим тази неправилност, ще би трябвало да прибавим 1/30 към общото число, като получим формулата 1/2 + 1/3 – 1/6 – 1/10 – 1/15 + 1/30.
С продължаването на този развой във формулата се появяват от ден на ден и повече членове, в това число дроби с възходящи знаменатели. За да се отстрани ненужното струпване на дребни неточности в приблизителните оценки като „ към 1/2 “ и „ към 1/3 “, теоретиците нормално стопират процеса на събиране и изваждане, преди да е минало цялото отсяване, и се лимитират до горните и долните граници вместо до точния отговор.
Теоретично подобен развой би трябвало да работи и за по-сложните множества от елементарни цифри като двойните елементарни цифри. Но когато става въпрос за нещо сходно, включването/изключването няма да работи, в случай че не знаете какъв брой отмерено са разпределени остатъците от делението в условните кошове.
За да се убедите в това, помислете по какъв начин би могло да действа пресяването на простите двойки. Можете да започнете, като употребявате метода на Ератостен, с цел да намерите всички опростени двойки до цената N. След това правите втори кръг на изчистване, като премахвате всички опростявания, които не са част от двойка близнаци. Един от методите да извършите това е да изхвърлите едно просто число, в случай че цифрата на две стъпки вляво от него също не е просто (можете да анализирате и две стъпки вдясно). Като използваме пресяване наляво, резервираме простите цифри като 13, защото 11 също е просто число, само че отстраняваме такива като 23, защото 21 към този момент не е просто число.
Можете да си визиите този развой като пренасяне на множеството на простите цифри с две единици наляво, съпроводено от задраскване на всички цифри в преместеното голям брой, които не са елементарни (например 21). В изместеното голям брой се зачертават числата, които се разделят на 3, по-късно се разделят на 5 и така нататък (Не е нужно да се притеснявате за числата, делящи се на 2, защото в изместеното голям брой всички цифри, с изключение на първото, са нечетни).
След това идва включването/изключването, което ви разрешава да прецените какъв брой цифри сте отстранили. При отсяването на Ератостен зачеркването на числата, делящи се на 3, води до унищожаване на към 1/3 от всички цифри. Но в по-малкия набор от разместени елементарни цифри е по-трудно да се планува какъв брой ще бъдат отстранени посредством задраскване на кратни на 3 цифри.
Новите международни върхове
Въпреки това в доста задания за отсяване е допустимо да се реализира триумф даже с лимитирано схващане на метода, по който простите цифри се разпределят във въпросните кошове. Да вземем да вземем за пример задачата за двойното просто число: елиминирането на едно просто число, в случай че цифрата, което се намира две единици вляво от него, се дели на 3, 5 или 7, е еднакво на въпроса дали самото просто число дава излишък от 2, когато се раздели на 3, 5 или 7. С други думи, дали елементарното число попада в кошницата „ 2 “ при всяко от тези деления. Така че не е належащо да се знае дали опростените детайли са разпределени отмерено във всички кошове при тези делители – належащо е единствено да се разбере дали всеки панер „ 2 “ съдържа упования брой опростени детайли.
През 80-те години на предишния век математиците стартират да търсят метод да потвърждават теоремите за систематизиране, които се концентрират върху една съответна кошница. Кулминацията на тази работа е през 1986 година в работата на Бомбири, Фридландер и Хенрик Иванек, които демонстрират, че са постигнали систематизиране 4/7 (около 0,57) за единични кошници, като са употребявали, въпреки и не всички типове пресяване, доста от тях.
Както и при теоремата на Бомбиери-Виноградов, концепциите, които се развиха през 80-те години, откриха доста приложения. Най-забележителното е, че те разрешиха на математиците да реализират забележителен прогрес в разбирането си за Великата теорема на Ферма. Тази теорема гласи, че уравнението an + bn = cn няма решения с елементарни цифри за всеки експонент n, по-голям от 2. (Това беше потвърдено през 1994 година благодарение на техники, които не разчитат на теореми за разпределение). Въпреки това, след внезапното повишаване през 80-те години на предишния век, в продължение на няколко десетилетия нямаше значителен прогрес в разбирането на равнището на систематизиране.
Резултатите на Джан се основават на една от версиите на хипотезата на Риман, произхождаща от света на алгебричната геометрия. По този метод работата на Бомбири, Фриландер и Иванец разчита на това, което Мейнард разказва като „ някаква магическа връзка “ с обекти, наречени автоморфни форми, които имат своя лична версия на хипотезата на Риман. Автоморфните форми са мощно симетрични обекти, за които Тао споделя, че принадлежат към „ най-значимата страна на теорията на числата “.
Тези проучвания са доста значими, тъй като простите цифри всеобщо се употребяват в природата и в нашия живот. Те са в основата на виталните цикли на цикадите, производителите на часовници ги употребяват за установяване на точността, а в авиационните мотори се употребяват за балансиране честотата на въздушните импулси. Но всичко това бледнее пред един неоспорим факт, който е добре прочут на всеки криптограф: простите цифри построяват сърцето на актуалната осведомителна сигурност и носят директна отговорност за отбраната на всичко.
