Неочакван обрат в играта на двамата милиардери. Веднъж Уорън Бъфет предлага

Неочакван поврат в играта на двамата милиардери.

Веднъж Уорън Бъфет предлага на Бил Гейтс да играят една необикновена игра със зарове. Бъфет сложил четири зара на масата и обяснил разпоредбите. Всеки от тях трябвало да избере по едно зарче, да го хвърли няколко пъти и този, който хвърлял по-често по-голямо число, печелел. Тези зарове не са били номерирани като общоприетите зарове: вместо числата от едно до шест, върху тях е имало други стойности, които са били разнообразни за всеки зар. В знак на вежливост Бъфет предлага на Гейтс пръв да избере един зар. Това събудило съмнение у Гейтс, който решил да ревизира заровете и настоял Бъфет да избере първия зар.

Обикновено в игрите правото да избереш пръв дава преимущество, тъй че за какво в този случай двамата бизнесмени са спорили за правото да избират втори? Отговорът се крие в едно извънредно свойство на заровете на Бъфет. За да го разберем, можем да разгледаме образец с сходни зарове, които имат същите свойства като заровете на Бъфет, само че са по-лесни за анализиране.

Колко постоянно зарчето А ще даде по-голямо число от зарчето В? Тъй като на всяко зарче има единствено три разнообразни цифри, в една трета от случаите зарчето А ще изкара 9, което е печелившо, без значение от хвърлянията на В. В една трета от случаите зарчето А ще изкара 1, което е губещо, без значение от хвърлянията на В. В останалата една трета от случаите зарчето А ще изкара 5, което е печелившо при две трети от хвърлянията на В (тези, които демонстрират 3 или 4).

Като вземем поради тези наблюдения и разпоредбите за възможност, се оказва, че А побеждава В в (⅓ x 1) + (⅓ x 0) + (⅓ x ⅔) = 5/9 от времето, или към 56% от времето. Аналогично изчисление демонстрира същата възможност зарът В да победи зарара С – В също побеждава С в към 56% от случаите. Следователно, в случай че А нормално побеждава В, а В нормално побеждава С, наподобява, че А би трябвало да победи С, нали? Грешка! Всъщност В побеждава А в към 56% от случаите.

Такъв вид зарове се назовават непреходни зарове. Множество взаимоотношения в живота се подчиняват на противоположното, транзитивно свойство: в случай че Алисия е по-възрастна от Бруно, а Бруно е по-възрастен от Касандра, то Алисия е по-възрастна от Касандра. Това е вярното умозаключение, тъй като релацията „ по-стар “ се подчинява на транзитивното свойство. Интранзитивните зарове изненадват нашето усещане, тъй като релацията „ нормално хвърля по-голямо число “ не е транзитивна, макар че наподобява, че би трябвало да бъде. Важно е да се означи, че с цел да се падне по-голямо число, не е наложително зарчето А постоянно да побеждава зарчето В. И, което е значимо, има обстановки, в които А побеждава В и в същото време губи от В. Това секване на числата на лицата разрешава на заровете да бъдат непреходни.

При всеки набор от непреходни зарове този, който избере пръв в играта на Бъфет, е в неизгодно състояние, тъй като вторият състезател постоянно може да избере зар, който евентуално ще победи избора на съперника. Мнозина се сблъскват за първи път с интранзитивните игри посредством „ камък, ножица, хартия “. Цикличната конструкция на успеха в тази игра подсигурява, че нито един избор не превъзхожда по неповторим метод другия. Играта със зарове на Бъфет е аналогична на това, в случай че вашият конкурент ви каже авансово какво ще избере в играта „ камък, ножица, хартия “ – неточност, която би довела до неговото проваляне.

Интранзитивните зарове са изобретени преди повече от 50 години от статистика от Станфорд Брадли Ефрон. Всеки зар от комплекта на Ефрон побеждава другия във впечатляващите две трети (около 67%) от случаите. Мартин Гарднър разпространява заровете на Ефрон в именитата си графа „ Математически игри “ в Scientific American, само че от този момент насам математиците са измислили голям брой хитри разновидности на тези зарове. Вече е известно, че всеки брой зарове (по-голям от две) може да има интранзитивен цикъл. Това значи да вземем за пример, че съществува набор от 26 зара, в който зарът А нормално побеждава зарара В, който нормално побеждава зарара С, и по този начин нататък до зарара Z, който, макар че се намира в края на дълга верига от преобладаващи зарове, нормално побеждава зарара А.

Не е наложително интранзитивните зарове да имат шест повърхности. Всъщност съществуват интранзитивни тройки зарове с случаен брой страни (повече от две). Холандският дизайнер на пъзели Оскар ван Девентер даже е изобретил комплект от седем шестоъгълни зарчета, които разрешават играта на Бъфет за трима души. С други думи, в случай че Бъфет и Гейтс поканят Доли Партън да играят с тях, Гейтс и Партън могат да изберат по един зар от седемте, а Бъфет въпреки всичко ще откри един зар от останалите пет, който по-често ще побеждава и двата им избора.

Точно когато наподобява, че природата на интранзитивните зарове към този момент е разбрана, математическата изисканост още веднъж е изненадваща. Така да вземем за пример можем да изчислим, че зарът А побеждава зара В 7/12 пъти (около 58%), зара В побеждава зара С 7/12 пъти, единствено че зарът С побеждава зара А 25/36 пъти (около 69%). Това не е нов феномен – тези зарове се побеждават един различен с друга възможност, само че те към момента са непреходни.

Ако обаче хвърлите освен един зар, а двойка идентични зарове, обстановката се трансформира фрапантно. Какво се случва, в случай че хвърлите чифт зарове А против чифт зарове В? Ще бъде ли вероятността за победа същата като преди, тъй като заровете са идентични, или дублирането на заровете усилва преимуществото на А пред Б? В един неочакван поврат двойка зарове А нормално губи от двойка зарове В! Нещо повече, целият цикъл се обръща: двойката зарове В нормално губи от двойката зарове С, а двойката зарове С нормално губи от двойката зарове А. Този резултат, който изяснява противоположното увеличаване на силата на дублирането, демонстрира какъв брой необикновени могат да бъдат тези зарове.

За да се разбере по-добре по какъв начин дублирането на заровете може да промени относителната им мощ, представете си елементарен образец с два двустранни зара – X и Y. На двете страни на X е изписано цифрата 1, а на страните на Y са изписани 0 и 3. Тези зарове са равни по мощ: Y печели половината от времето (когато се хвърли 3) и губи половината от времето (когато се хвърли 0). Когато обаче заровете се дублират, двойката Y е по-силна от двойката X. Двойката X постоянно хвърля 2, а двойката Y губи единствено в случай че и двата зара покажат 0, което се случва единствено в една четвърт от случаите. Подобно събитие изяснява противоположната мощ в тази ситуация на непреходните зарове.

Интранзитивните зарове не са толкоз явни и наподобява, че съществуването им би трябвало да е необичайност. Но дали това е повода за тяхната уникалност? Ако се знае единствено, че зарът А нормално побеждава зара В, а В нормално побеждава болест В, каква е вероятността А също нормално да побеждава болест В или противоположното? Изобретателни хора деликатно са изработили всички упоменати зарове на ръка, само че биха ли могли просто да изберат инцидентни цифри на заровете и да намерят непреходно голям брой?

Британският математик Тимъти Гауърс си слага за цел да отговори на този въпрос. Гауърс управлява плана Polymath – новаторска и относително нова парадигма в математическите проучвания. Вместо няколко математици в един или два университета да работят по даден проблем, планът Polymath употребява метод на групов разсъдък: случаен брой участници могат да работят взаимно по обещано доказателство посредством онлайн полемики. През 2017 година Гауърс предлага в блога си да се обмисли опцията за основаване на интранзитивни зарове. Заменяйки осведомителната дъска с раздел за мнения във WordPress, десетки учени се заеха с казуса и го взеха решение.

Ако зададете случайно цифри на три разнообразни зара и желаете да знаете каква е вероятността те да са непреходни, отговорът зависи от това какво тъкмо се има поради под „ случайно задаване на цифри “ на заровете. Екипът на Polymath моделира това с два естествени критерия. Точно както числата от 1 до 6 се срещат на типичния шестстенен зар, инцидентният n-стенен зар ще съдържа числата от 1 до n (някои цифри може да се повтарят, а други може въобще да не се срещат). Точно както числата върху елементарния шестоъгълен зар се събират като сума от 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6, екипът на Polymath е претендирал сумата от числата върху n-странен зар да е равна на сумата от числата от 1 до n.

И по този начин, кое е по-разпространено – транзитивните или интранзитивните зарове? Участниците в плана Polymath потвърдиха, че три случайни n-ъгълни зара ще бъдат непреходни в към половината от случаите. С други думи, знанието, че А нормално побеждава В, а В нормално побеждава С, не дава съвсем никаква информация за това дали А ще победи В или противоположното. Може да се допусна, че транзитивните зарове са по-често срещани от интранзитивните. Възможно е някои читатели, изтощени от това, че упованията им се опровергават, да предположат, че непреходните зарове са по-често срещани. Но тези неуловими зарчета настойчиво заобикалят прогнозите. При трите зара транзитивните и интранзитивните зарчета се срещат с идентична периодичност.