Как шепотът на молекулите се превръща в рев на морските

Как шепотът на молекулите се трансформира в плач на морските течения благодарение на една формула.

В началото на XX век математиката и физиката се развиват значително без значение една от друга. Физиците откриват нови естествени закони, а математиците основават нереални теории и връзката сред тези области на науката не постоянно е била явна. През 1900 година на Международния конгрес на математиците в Сорбоната в Париж Дейвид Хилберт изрича концепция, която би могла да промени салдото на силите. Той показва лист от 10 фундаментални казуса, по-късно уголемен до двадесет и три, чието решение освен ще докара до прогрес в математиката, само че и ще ускори връзката ѝ с действителния свят.

Шестият проблем от листата на Хилбърт визира самите основи на физиката. Ученият предложил да се откри най-малък набор от математически правила, от които да се изведат всички известни закони на природата – от придвижването на най-малките частици до държанието на галактическите обекти. Този метод е наименуван „ аксиоматизация на физиката “. С други думи, Хилберт е желал да открие най-основните математически правила, лежащи в основата на всички физични феномени, тъкмо както няколко аксиоми в геометрията могат да се употребяват за извеждане на всички теореми за свойствата на фигурите.

Като първа стъпка към решаването на тази голяма задача Хилбърт се обръща към работата на австрийския откривател Лудвиг Болцман. Болцман се опитвал да изясни по какъв начин следените свойства на газовете – налягане, температура и топлопроводимост – се пораждат от безредното придвижване на обособените молекули. Този образец илюстрира по какъв начин явленията в микрокосмоса могат да се свържат с това, което следим в всекидневието.

Повече от век по-късно, напълно неотдавна, група американци – Ю Денг от Чикагския университет, Захер Хани и Сяо Ма от Мичиганския университет – направиха значима стъпка към решаването на казуса на Хилберт. Те се концентрираха върху проучването на течностите, чието придвижване може да се опише по три разнообразни метода, според от това какъв брой от близко ги преглеждаме.

Представете си, че наблюдавате капка вода. Ако я погледнете с невъоръжено око, виждате единствено статична, транспарантна течност. Но под микроскоп същата тази капка наподобява като голям брой обособени молекули в непрекъснато придвижване. Тези две гледни точки към едно и също вещество са довели до разнообразни математически описания на неговото държание.

На най-близко, микроскопично равнище, течността е голям брой частици, като дребни билярдни топки. Те се движат по законите, открити от Нютон: сблъскват се между тях, отскачат, трансформират посоката си. За всяка обособена парченце може да се пресметна точната траектория, като се знаят началната ѝ скорост и позиция. Но в една капка вода има трилиони такива частици и даже за най-мощните компютри е съвсем невероятно да проследят интензивността на всяка от тях.

За да преодолее тази компликация, през 1872 година Лудвиг Болцман измисля гениално решение. Вместо да следи всяка парченце, той основава уравнение, описващо държанието на „ типичната “ парченце – осреднено за целия набор от молекули. Този метод, наименуван мезоскопичен (т.е. промеждутъчен сред микро- и макроравнището), дава опция да се изчислят значими характерности на флуида, като топлопроводимост и вискозитет, без да се навлиза в детайлите на придвижването на обособените молекули.

На най-голямото, макроскопично равнище, флуидът (течността) се преглежда като непрекъсната среда, без да се взема поради молекулярната му конструкция. В този случай са годни уравненията, открити от математиците Леонхард Ойлер и Клод-Луи Навие, дружно с Джордж Стокс. Те дават опция да се пресметна придвижването на водните и въздушните течения в мащаби, вариращи от придвижването на кръвта през съдовете до циркулацията на въздушните маси в атмосферата. Именно тези формули се употребяват от инженерите при проектирането на самолетите и от метеоролозите при правенето на прогнозите за времето.

Логиката изисква и трите метода за изложение на флуида да са взаимосвързани – в последна сметка те разказват една и съща действителност. Законите за придвижването на обособените молекули би трябвало да водят до уравнението на Болцман, когато се преглежда тяхното усреднено държание, а уравнението на Болцман на собствен ред би трябвало да изяснява законите за придвижването на флуида като цяло. Въпреки това математиците дълго време не успяваха да потвърдят изрично тази връзка.

Основната компликация се състои в това да се вземат поради дълги шпации от време. В една течност всяка молекула претърпява голям брой конфликти и въздействието на всеки конфликт въздейства върху по-нататъшната ѝ „ орис “. С увеличение на времето за наблюдаване броят на тези взаимоотношения нараства лавинообразно.

Работата на екипа от Чикагския университет и Мичиганския университет докара до основаването на кардинално нов метод за разбор на взаимоотношенията сред частиците на течността. Те създадоха математически способ, който взема поради цялата история на придвижването на всяка парченце – от първия до последния конфликт. Трудността се е състояла в това, че всеки нов конфликт на частиците трансформира техните траектории, създавайки безкрайна верига от взаимосвързани събития. Учените съумели да потвърдят, че кумулативният резултат от всички минали конфликти остава стеснен и предсказуем даже след дълго време.

При правенето на доказателството откривателите избрали необикновен път: те взели поради умствен опит, при който броят на частиците в течността нараства до безконечност, а размерът на всяка парченце понижава съвсем до точка. В този краен случай държанието на безкрайния набор от безпределно дребни частици тъкмо съответствува с предвижданията на уравнението на Болцман. За първи път математиците съумяха да покажат по какъв начин законите за придвижване на обособените молекули пораждат статистически закономерности в мащаба на цялата течност.

Резултатите на екипа допълниха съществуващите доказателства за връзката сред уравнението на Болцман и макроскопичните уравнения на Ойлер и Навие-Стокс. Появи се цялостна картина на прехода от придвижването на обособените молекули към широкомащабните флуидни потоци. Всъщност математиците сътвориха повсеместен език за изложение на природата, който работи еднообразно добре на всички равнища – от микроскопично до макроскопично.

Значението на това изобретение надалеч надвишава теорията на флуидите. Разработените способи могат да оказват помощ за разбирането на други физични феномени, при които микроскопичните процеси водят до наблюдаеми резултати в огромен мащаб. Независимо дали става въпрос за квантови резултати, взаимоотношения с обикновени частици или гравитационни полета, съществува нужда от свързване на другите равнища на изложение на природата.