Ето как тайно древно общество е открило ирационалните числа
Историята за това по какъв начин едно математическо изобретение раздрусва основите на едно антично общество.
Хипас от Метапонт, древногръцки математик от V в. пр.н.е., е прочут с откриването на ирационалните цифри. Легендата споделя, че това изобретение му коства живота, само че точните условия на събитието остават незнайни.
Като питагореец, почитател на религиозно-философското обучение, Хипас споделял вярата на своята фракция в хармонията на числата и числения мистицизъм. Един от главните правила на питагорейството е концепцията, че безусловно всичко в света може да бъде разказано благодарение на рационални цифри, т.е. цели цифри и дроби.
Изследвайки дължините на страните на пентаграма – символичния знак на питагорейците, Хипас открива, че някои от тях не могат да бъдат изразени като съответствие на цели цифри. Така той съумява да потвърди съществуването на ирационални стойности, които не са рационални цифри. Това изобретение разклаща основите на питагорейската нумерология и се трансформира във значим стадий от развиването на гръцката математика.
Според разнообразни исторически източници реакцията на питагорейците на откритието на Хипас за ирационалните цифри е била смесена. Някои настояват, че то е обидило и шокирало питагорейците, тъй като е противоречало на техния светоглед и на убеждението им, че светът може да бъде разказан само с рационални цифри. Според други версии Хипас е нарушил разпоредбите за секретност, като е обявил резултатите си, за което е бил изпъден или даже погубен. Някои източници настояват, че питагорейците съзнателно са го удавили в морето, а други – че гибелта му е акцидент, възприета като божествено наказване за разкриването на скрито познание.
Съвременните историци са склонни да считат тези истории за митове, които нямат солидна фактическа основа. Откриването на ирационалните цифри, в случай че в действителност е направено от Хипас, най-вероятно е било възприемано от питагорейската общественост като значимо математическо достижение, източник на горделивост. Около питагорейците витаят доста легенди, защото тази авторитетна фракция е била преследвана поради своите метафизичен и политически възгледи.
Запазени са малко достоверни обстоятелства за живота и активността на питагорейците. Общността им е учредена от Питагор от остров Самос в Южна Италия към 530 година преди новата епоха. Известната теорема за сумата от квадратите на катетите, обвързвана с името на Питагор, най-вероятно е потвърдена не от него, а от негови почитатели. В допълнение към интереса си към математиката питагорейците водели аскетичен метод на живот, били вегетарианци, отричали благосъстоянието и вярвали в преселението на душите, което ги правело необикновени за антична Гърция. С течение на времето те били преследвани и след гибелта на Питагор общността се разпаднала.
Историците са единомислещи, че в някакъв миг питагорейците са съумели да потвърдят несъизмеримостта на някои величини, от което следва съществуването на ирационалните цифри – едно от най-важните открития в историята на математиката.
Числа отвън рамките на дробите
В актуалната учебна стратегия се приема за даденост, че някои числови стойности, наречени ирационални стойности, не могат да бъдат изразени като отношение на две цели цифри. Това просветление обаче напълно не е явно и единствено по себе си съставлява значимо изобретение в историята на математиката. Ирационалните цифри могат да бъдат апроксимирани единствено благодарение на рационални дроби, от време на време с доста огромна акуратност, само че за тях не съществува тъкмо показване под формата на отношение на цели цифри.
Известното доказателство за ирационалните цифри, обещано от Хипас или различен питагореец, се илюстрира най-лесно с образеца за равнобедрения правоъгълен триъгълник: Разгледайте триъгълник, чиито две страни, всяка с дължина a, образуват прав ъгъл, противопоставен на хипотенуза с дължина c Известното доказателство за ирационалните цифри, показано от Хипас, се илюстрира най-лесно с образеца на равнобедрен правоъгълен триъгълник: разгледайте триъгълника, чиито две страни, всяка с дължина a, образуват прав ъгъл, противопоставен на хипотенуза с дължина c.
Този триъгълник има закрепено съответствие на страните a/c. Ако и a, и c са рационални цифри, дължините на страните на триъгълника могат да се изберат по този начин, че за всяко a и c да подхожда на най-малкото допустимо естествено число (т.е. да нямат общ делител). Например, в случай че съотношението на страните е 2/3, ще изберете a = 2 и c = 3. Ако приемем, че дължините на триъгълника подхождат на рационални цифри, то a и c са цели цифри и нямат общ делител – най-малко по този начин си мислеха всички.
Доказателство от противното
Хипас употребявал умозрителния способ на доказателството от противното, с цел да покаже погрешността на първичното съмнение, че отношението на страните на правоъгълен равнобедрен триъгълник е рационално число.
Първо, той приложил Питагоровата теорема (a 2 + b 2 = c 2), като заменил равните страни на триъгълника a вместо a и b. Така се получило уравнението: 2a 2 = c 2, изразяващо дължината на хипотенузата c през страната a. Тъй като a и c са цели цифри, от това уравнение следва, че c 2 би трябвало да е четно число. Следователно c се дели на 2: c = 2n, където n е някакво естествено число.
Като заместим c = 2n в първичното уравнение, получаваме: 2а 2 = (2n) 2 = 4n 2. Ако понижим и двете елементи с 2, ще получим: a 2 = 2n 2. Тъй като a е цяло число, a 2 е четно число. Това обаче опонира на първичното съмнение, че страните a и c на триъгълника са цели цифри, тъй като следователно нито една от тях не може да бъде четна.
Това несъгласие разрешило на Хипас да заключи, че отношението на страните a/c в равнобедрения правоъгълен триъгълник не може да се изрази като рационално число. С други думи, той потвърдил съществуването на ирационални величини, които не могат да бъдат показани като отношение на цели цифри. Така да вземем за пример за триъгълник с единични катети a=1 дължината на хипотенузата c ще бъде равна на √2 ≈ 1,414… – ирационално число с безпределно непериодично десетично число.
За актуалния човек, осведомен с ирационалните цифри от детството си, тяхното битие не е огромен проблем. Преди към 2500 години обаче това изобретение е могло изцяло да преобърне визиите за природата на числата и числовите връзки. Не е изненадващо, че около него са се развили доста митове и легенди.
