Мистерията на корените на полиномите: 85 години търсене и едно доказателство
Решението на хипотезата на ван дер Ваарден открива нова епоха в теорията на числата.
Професор Манджул Бхаргава от Принстънския университет неотдавна откри решение на 85-годишен математически проблем, прочут като хипотезата на Ван дер Ваарден. Това достижение освен задълбочава разбирането ни за полиномните уравнения, само че и разкрива нови връзки сред корените на тези уравнения, които до момента са оставали скрити. Хипотезата, препоръчана от холандския математик Бартел Леендерт ван дер Ваарден през 1936 година, има за цел да разбере какъв брой полинома имат корените, които не могат да бъдат разменени, без да се промени резултатът от уравненията.
Полиномните уравнения, като x² – 3x + 2 = 0, съставляват една от най-старите тематики в математиката. Корените на тези уравнения са стойностите на променливата x, при които уравнението става нула. Например, уравнението x² – 3x + 2 = 0 има корени 1 и 2. Не всички полиноми обаче се вземат решение толкоз елементарно. Така да вземем за пример уравнението x² – 5 = 0 не може да се реши благодарение на рационални цифри. За задачата се вкарва понятието за едно ново число – √5, което е корен на уравнението. След като се откри √5, то може да се умножи по -1, като се получи вторият корен на уравнението – -√5. Двата корена са еквивалентни и могат да се разменят при решаването на доста уравнения.
Тази взаимозаменяемост на корените е най-често срещаното събитие в математиката. Въпреки това, както е забелязал математикът Франк Торн, в случай че се опитаме да сменяем корените в някои случаи, да вземем за пример както в уравнението x² – 3x + 2 = 0, с несъответстващи стойности, това ще докара до математическа „ злополука “. По този метод хипотезата на ван дер Ваарден се пробва да опише и мери броя на полиномите, в които корените не са взаимозаменяеми.
Въпреки значимостта си хипотезата няма изцяло решение в продължение на десетилетия. Напредъкът е муден, макар че през последните десетилетия са направени някои стъпки. През последните години обстановката се промени фрапантно, което може да се отдаде на дейното развиване на теорията на числата. Както показва професор Райнер Дитман от университета Роял Холоуей, въпроси от класическата доктрина на числата, като да вземем за пример хипотезата на ван дер Ваарден, още веднъж са в центъра на вниманието на математиците.
Самият Бхаргава, който през 2014 година получи медала „ Фийлдс “, считан за най-високото отличие в математиката, е значително виновен за този прогрес. Неговата работа се трансформира в самобитен „ подтик “ за нови проучвания. Бхаргава предложи новаторски способ за решение на хипотезата на ван дер Ваарден, учреден на разделянето на полиномите на няколко групи. Тези групи са формирани въз основа на криминантата – числова характерност, обвързвана с корените на полиномите. За всяка от групите са употребявани разнообразни способи за разбор, което е разрешило цялостното доказване на хипотезата.
През лятото на 2021 година ползата към хипотезата беше възобновен от поредност научни изявления. През юни Сам Чоу и Райнер Дитман разгласиха публикация, която направи забележителна крачка напред в решаването на казуса. Скоро различен екип от математици показа друго проучване по тематиката. През юли Бхаргава изнесе отчет, в който показа доказателство на леко модифицирана версия на догатката на ван дер Ваарден, само че две седмици по-късно на математически конгрес разгласи цялостното решение на казуса. През ноември същата година работата му е оповестена.
За да реши хипотезата на ван дер Ваарден, той предлага да се ограничи наборът от полиноми, с които да се работи. Той разглеждал единствено тези уравнения, чиято степен е авансово известна – степента на полинома се дефинира като най-голямата степен на променливата x. Например полиномът x² + 1 има степен 2, а x¹⁷ – 4 има степен 17. След това той се концентрира единствено върху моник-полиномите – това са полиноми, чийто първи коефициент е 1. По този метод се заобикаля дублирането: да вземем за пример полиномите 2x² – 6x + 4 и x² – 3x + 2 имат едни и същи корени. Накрая той лимитира останалите коефициенти на полиномите, като избира число H, при което коефициентите са сред -H и H.
Хипотезата на Ван дер Ваарден гласи, че измежду всички полиноми, определени при тези условия, почти Hⁿ-¹ от тях ще имат нередуцируеми корени. Именно това изказване Бхаргава удостоверява в своето доказателство.
Да напомним, че „ хипотезата “ е характерно съмнение, което изисква инспекция и изпробване, с цел да се оцени неговата правота, до момента в който теорията е общо пояснение, подкрепено от солидна база емпирични доказателства. По този метод теорията надвишава елементарната догадка и обезпечава поредна и непротиворечива рамка за схващане на дадена област на науката. Естествено, това не пречи теориите да бъдат непрекъснато преразглеждани и усъвършенствани според от новите открития.
Това решение било резултат от дългогодишно мислене и сортиране на разнообразни математически способи. В метода си Бхаргава употребявал хрумвания от няколко области на математиката, като ги комбинирал като елементи от пъзел, с цел да доближи до крайния резултат. Този труд освен затваря дългия спор към хипотезата, само че и открива нови пътища за проучване. Математиците към този момент могат да се съсредоточат върху това какво се случва, когато се употребяват повече цифри от рационалните, или да учат закономерностите, свързани с взаимозаменяемостта на корените.
Освен че доказателството на Бхаргава взема решение догатката на ван дер Ваарден, неговите способи евентуално ще доведат до по-нататъшни открития в теорията на числата.
