Имагинерните числа в технологиите: Как комплексните числа променят инженерството и технологиите
Оригиналът е на William Ross
За един нематематик може да е мъчно да проумее, че буквата „ i “ съставлява число, което не съществува и е „ мислено “, което в математиката е признато да се назовава имагинерно.
Ако обаче отворите съзнанието си за този метод на мислене, пред вас ще се разкрие цялостен един нов свят.
Аз съм математик, който учи разбора: област от математиката, която се занимава с комплексните цифри. За разлика от по-познатите действителни цифри – цели позитивни и негативни цифри, дроби, квадратни корени, корени от куб и даже цифри като пи – комплексните цифри имат утопичен съставен елемент.
Това значи, че те са формирани както от действителни цифри, по този начин и от имагинерното число i: квадратен корен от минус 1.
Да напомним, че квадратният корен на обещано число съставлява число, чийто квадрат е първичното число. Положително число, умножено над себе си, постоянно е позитивно число. Отрицателното число, умножено по себе си, още веднъж е позитивно число. Имагинерното число i съставлява число, което по някакъв метод, когато се умножи на себе си, е негативно.
Разговорите за имагинерните цифри с нематематик постоянно водят до възражения от рода на: „ Но тези цифри не съществуват в реалност, нали?„.
Ако сте един от тези скептици, не сте сами. Дори математическите колоси са намирали комплексните цифри за сложни за преглъщане.
От една страна, наричането на √-1 „ имагинерно “ не способства за това да се помогне на хората да схванат, че то не е фантастично. Математикът Джироламо Кардано в своята книга от 1545 година, отдадена на комплексните цифри, „ Ars Magna “, ги отхвърля като „ толкоз изтънчени, колкото и безполезни “.
Дори Леонхард Ойлер, един от най-великите математици, хипотетично е пресметнал √(-2) √(-3) като √6. Правилният отговор е -√6.
В гимназията може би сте се сблъсквали с формулата за квадратните уравнения, която дава решения на уравнения, в които незнайната променлива е в квадрат.
Може би учителят ви в гимназията не е желал да се занимава с въпроса какво се случва, когато (b2 – 4ac) – изразът под квадратния корен във формулата на квадратното уравнение – е негативен.
Може би са го замитали под килима като нещо, с което би трябвало да се занимавате в университета.
Формулата на квадратното уравнение може да се приложи допълнително случаи, когато изразът на радикала може да бъде негативен Ако обаче сте подготвени да повярвате в съществуването на квадратни корени от негативни цифри, ще получите решения на цялостен нов набор от квадратни уравнения. Всъщност пред вас се разкрива цялостен един необикновен и потребен свят на математиката: светът на комплексния разбор.
Комплексните цифри опростяват редица други области на математиката
Какво получавате при потреблението на комплексните цифри?
От една страна, тригонометрията става доста по-лесна. Вместо да запомняте няколко комплицирани тригонометрични формули, ви е належащо единствено едно уравнение, което ги ръководи всичките: Формулата на Ойлер от 1740 година
С помощта на подобаващи алгебрични умения можете да манипулирате формулата на Ойлер, с цел да видите, че множеството от общоприетите тригонометрични формули, употребявани за премерване на дължината или ъгъла на триъгълник, стават лесни за осъществяване.
Формулата на Ойлер се базира на имагинерните цифри Изчисленията също стават по-лесни. Както са забелязали математиците Роджър Котес, Рене Декарт, който е в действителност един от основателите на термина „ имагинерно число “, и други, комплексните цифри улесняват решаването на видимо невъзможни интеграли и измерването на площта под комплицираните криви.
Комплексните цифри играят роля и за разбирането на всички вероятни геометрични фигури, които можете да построите с линийка и образец. Както означават математиците Жан-Роберт Арган и Карл Фридрих Гаус, можете да употребявате комплексните цифри за манипулиране на геометричните фигури като пентагони и октагони.
Комплексният разбор в действителния свят
Комплексният разбор има доста приложения в действителния свят.
Идеята на математика Рафаел Бомбели за осъществяване на алгебрични интервенции като събиране, изваждане, умножение и разделяне върху сложни цифри дава опция те да се употребяват в изчисленията.
Редовете на Фурие разрешават периодическите функционалности (синьо) да бъдат апроксимирани посредством суми от синусоидални и косинусоидални функционалности (червено). Този развой се основава на комплексния разбор По този метод огромна част от нещата, които учените употребяват във физиката за проучване на сигналите или преноса на данни, стават по-лесно използваеми и разбираеми.
Така да вземем за пример комплексният разбор се употребява за манипулиране на вълновите сигнали и дребните съмнения в данните. Те са от решаващо значение за унищожаване на шума в изкривения сигнал от спътник, както и за компресиране на изображенията за по-ефективно предпазване на данните.
Комплексният разбор дава опция на инженерите да трансфорат комплицирания проблем в по-опростен. По този метод той е значим инструмент и в доста тематики от приложната физика, като да вземем за пример проучване на електрическите и флуидните свойства на комплицираните структури.
След като стартират да боравят по-комфортно с комплексните цифри, известни математици като Карл Вайерщрасе, Огюстен-Луи Коши, Бернхард Риман и други съумяват да развият комплексния разбор, изграждайки потребен инструмент, който освен опростява математиката и развива науката, само че и ги прави по-разбираеми.
Да прибавим, че в електроинженерните науки и обвързваните с тях области имагинерната единица постоянно се записва като j с цел да се избегне комплициране с електрическия ток като функционалност от времето, по традиция означаван с i.
