Ето как една гениална формула, издълбана върху мост, промени историята на математиката
На 16-ти октомври 1843 година ирландският математик Уилям Роуън Хамилтън получава просветление по време на разходка около Кралския канал в Дъблин. Той бил толкоз разчувствуван, че извадил ножа си и издълбал своето изобретение на моста Брум.
Това е най-известният графит в историята на математиката, само че наподобява много неугледен:
i 2 = j 2 = k 2 = -1
И въпреки всичко откритието на Хамилтън трансформира метода, по който математиците показват информацията. А това от своя страна опрости безчет механически решения – от изчисляването на силите при проектирането на мостове, ядрено-магнитен резонанс или вятърна турбина до програмирането на търсачки и ориентирането на марсиански роувър.
И по този начин, какво в действителност значи този толкоз прочут графит?
Въртящите се обекти
Математическият проблем, който Хамилтън се пробва да реши, е по какъв начин да показа връзката сред другите направления в триизмерното пространство. Посоките са значими за разказване на силите и скоростите, само че Хамилтън се интересува и от триизмерните ротации.
Математиците към този момент са знаели по какъв начин да показват ситуацията на даден обект с координати като x, y и z, само че с цел да схванат какво се случва с тези координати при завъртане на обекта, е била нужна комплицирана сферична геометрия. Хамилтън е търсел по-прост способ.
Той се въодушевил от един необикновен метод за показване на двуизмерните завъртания.
Трикът се състоял в потреблението на по този начин наречените „ сложни числа„, които имат „ действителна “ част и „ имагинерна “ част. Имагинерната част е кратна на цифрата i, „ квадратен корен от минус едно “, което се дефинира от уравнението i ² = -1.
В началото на XIX в. няколко математици, измежду които Жан Аржан и Джон Уорън, откриват, че комплексното число може да бъде показано посредством точка в низина. Уорън също по този начин демонстрира, че е напълно просто от математическа позиция да се завърти една линия на 90° в тази нова сложна низина, както се завърта стрелката на часовника от 12,15 ч. на 12 ч. на обяд. Защото тъкмо това се случва, когато умножите едно число по i.
Когато едно сложно число се показва като точка в низина, умножаването на цифрата по i е еднакво на завъртане на съответната линия с 90° назад на часовниковата стрелка Хамилтън е мощно впечатлен от тази връзка сред комплексните цифри и геометрията и се пробва да я реализира в трите измерения. Той си показва триизмерна сложна низина с втора мислена ос по посока на второ мислено число j, перпендикулярно на другите две оси.
Отнело му голям брой сложни месеци, с цел да разбере, че в случай че желае да разшири двуизмерното ротационно чудо на умножението по i, му трябват четириизмерни сложни цифри с трето имагинерно число k.
В това четириизмерно математическо пространство оста k би била перпендикулярна на останалите три. Не единствено, че k би била дефинирана посредством k ² = -1, само че и за нейното дефиниране е належащо k = ij = -ji. (Комбинирането на тези две уравнения за k дава ijk = -1.)
Ако обединим всичко това, ще получим i ² = j ² = k ² = ijk = -1 – откровението, което като гръмотевица поразява Хамилтън на моста Брум.
Кватерниони и вектори
Хамилтън назовава своите 4D цифри „ кватерниони “ и ги употребява за пресмятане на геометричните ротации в 3D пространството. Това е типът въртене, който през днешния ден се употребява за напредване на роботите или за насочване на спътниците.
Но по-голямата част от практическата магия се демонстрира, когато разглеждате единствено имагинерната част на един кватернион. Именно нея Хамилтън назовава „ вектор„.
Векторът кодира два типа информация по едно и също време, най-известните от които са размера и посоката на дадена пространствена големина като мощ, скорост или релативно състояние. Така да вземем за пример, с цел да показа ситуацията на даден обект (x, y, z) по отношение на „ началото “ (нулевата точка на осите на положението), Хамилтън пресъздава стрелка, ориентирана от началото към местоположението на обекта. Стрелката съставлява „ вектора на ситуацията “ x i + y j + z k.
„ Компонентите “ на този вектор са числата x, y и z – дистанцията, на което се простира стрелката по всяка от трите оси. (Другите вектори биха имали разнообразни съставни елементи според от техните величини и единици).
Векторът (r) е като стрелка от точката O до точката с координати (x, y, z) Половин век по-късно ексцентричният британски свързочник Оливър Хевисайд оказва помощ за откриването на актуалния векторен разбор, като заменя въображаемите структури i, j, k на Хамилтън с действителни единични вектори i, j, k. Но и в двата случая съставените елементи на вектора остават същите – затова стрелката и главните правила за умножение на векторите си остават същите.
Хамилтън дефинира два метода за умножаване на векторите. При единия се получава число (днес това се назовава скаларно или точково произведение), а при другия – вектор (известен като векторно или кръстосано произведение). Тези умножения през днешния ден се срещат в громен брой приложения, като да вземем за пример формулата за електромагнитната мощ, която е в основата на всички наши електронни устройства.
Единичният математически обект
Без да знае за Хамилтън, френският математик Олинде Родригес предлага версия на тези понятия единствено три години по-рано в своята работа върху ротациите. Но да назоваваме умноженията на Родригес творби на вектори е ретроспекция. Хамилтън е този, който свързва обособените съставни елементи в една единствена големина – вектора.
Всички останали, от Исак Нютон до Родригес, не са имали разбиране за обединен математически обект, сплотяващ съставените елементи на дадена позиция или мощ. (Всъщност е имало един човек, който е имал сходна концепция: самоукият немски математик Херман Грасман, който без значение от Хамилтън е изобретил не толкоз прегледна векторна система, освен това по същото време).
Хамилтън също по този начин създал и стегнат и стилен запис, с цел да направи уравненията си къси и елегантни. Той е употребявал гръцка писмен знак за означаване на кватерниона или вектора, само че през днешния ден, следвайки Хевисайд, е признато да се употребява удебелена латинска писмен знак.
Този стилен запис трансформира метода, по който математиците показват физическите величини в триизмерното пространство.
Да вземем да вземем за пример едно от уравненията на Максуел, отнасящо се до електрическото и магнитното поле:
∇×E = –∂B/∂t
Само с няколко признака (няма да навлизаме във физическите смисли на ∂/∂t и ∇ ×) е показано по какъв начин векторът на електрическото поле (E) се разгръща в пространството в отговор на измененията във вектора на магнитното поле (B).
Без векторна нотация това би било записано като три обособени уравнения (по едно за всяка съставния елемент на B и E) – всяко от тях съставлява плетеница от координати, умножения и изваждания.
Разширената форма на уравнението. Както се вижда, векторният запис доста опростява живота Силата на постоянството
За образец е взето едно от уравненията на Максуел, тъй като чудатият шотландец Джеймс Клерк Максуел е първият огромен физик, който осъзнава силата на компактната векторна символика. За страдание Хамилтън не доживява да види утвърждението на Максуел. Но той в никакъв случай не се отхвърля от вярата си в своя нов метод за показване на физичните величини.
Упоритостта на Хамилтън пред лицето на отхвърлянето от страна на болшинството в действителност може да трогне всеки от нас, който прочете книгата си за векторите.
Паметната плоча на моста Брум в Дъблин припомня за прозрението на Хамилтън Той би бил на седмото небе от благополучие, че в наши дни векторите се употребяват толкоз необятно и че те могат да показват както цифрова, по този начин и физическа информация. Но той би бил изключително удовлетворен, че при програмирането на ротациите кватернионите към момента постоянно са най-хубавият избор – нещо, което доста добре знаят програмистите от НАСА и занимаващите се с компютърна графика.
В знак на самопризнание за достиженията на Хамилтън феновете на математиката се насочат по маршрута на известната му разходка на всеки 16-ти октомври, с цел да отбележат Деня на Хамилтън. Но всички ние нуквално всеки ден използваме софтуерните плодове на този неугледен графит.
