Какво представлява кубът на принц Рупърт и как математиците разбиха

Какво съставлява кубът на принц Рупърт и по какъв начин математиците разрушиха една 350-годишна догадка?

Представете си, че в ръцете си държите два идентични куба за игра. Възможно ли е да пробиете в единия от тях толкоз необятен отвор, че през него да премине другият куб със същия размер? Интуицията ви подсказва, че това е невероятно: наподобява, че геометрията не би го разрешила. Но тъкмо този въпрос е бил предмет на необикновен спор през XVII век – и той е приключил с непредвиден резултат.

В края на 1600 година един проницателен събеседник спори с принц Рупърт Пфалцки, племенник на британския крал Чарлз I и пълководец на монархическите сили по време на Гражданската война. По това време принцът към този момент се бил отдръпнал и прекарвал дните си в своята работилница в замъка Уиндзор, където леел метали и стъкло. Предмет на дебата е бил въпросът дали един куб може да бъде продънен, с цел да се образува тунел, през който да премине различен куб със същия размер. За изненада на съвременниците си Рупърт потвърдил, че това е допустимо – и спечелил залога.

Математикът Джон Уолис, който разказва историята през 1693 година, не прецизира дали принцът е провел действителен опит, или се е лимитирал единствено с догатки. Но самият Уолис дава строго математическо доказателство: в случай че пробиете дупка по вътрешния диагонал на куба, тя може да бъде задоволително необятна, с цел да премине различен куб със същия размер. Разликата е минимална – коства си да увеличите втория единствено с четири % и той няма да премине. Този резултат се трансформира в класика в геометрията и влезе в историята като Кубът на принц Рупърт.

Оттогава насам математиците нееднократно са се питали какви други тела имат това свойство. Най-често са обсъждани изпъкналите многостенни тела – фигури с плоски повърхности без издатини или вдлъбнатини. За издължените фигури е елементарно да се направи тунел, само че симетричните тела като додекаедъра или пресечения икосаедър – същият, който наподобява на футболна топка – се оказват доста по-трудни. В продължение на няколко епохи точно кубът на принц Рупърт остава единственият прочут образец. Едва през 1968 година немският откривател Кристоф Шкриба потвърждава, че тетраедърът и октаедърът също имат това свойство.

През последните десетилетия развиването на изчислителната геометрия разреши да се открият сходни преходи и за други фигури – икосаедър, додекаедър и кръстосан икосаедър. С течение на времето математиците са предполагали, че всяка изпъкнала фигура позволява подобен тунел. И дълго време никой не можеше да открие изключения – до момента в който през 2025 година не се появи първото опровергаване.

Австрийските откриватели Якоб Щайнингер от Федералната статистическа работа и Сергей Юркевич от инженерната компания A&R Tech са разкрили тяло, което нарушава канона. В публикация, оповестена през лятото, те разказват полиедър с 90 върха и 152 стени и потвърждават, че за всяка посока на проходния канал вторият образец на тази фигура не може да премине през първия. Това е първият прочут случай на полиедър, лишен от свойство, аналогично на Куба на принц Рупърт.

За да стигнат до това умозаключение, откривателите е трябвало да съчетаят строги калкулации и огромни компютърни инспекции. Специалната класификация на върховете на фигурата им основава неповторимо равновесие, което прави всички евентуални проходи прекомерно тесни. Според Щайнингер самият факт, че съществува подобен контрапример, наподобява съвсем като знамение.

За да разберем по какъв начин един куб може да премине през различен, дано си представим сянката му върху маса. Ако държите фигурата в нормалното ѝ състояние, проекцията е квадрат. Но завъртете куба по този начин, че горната му част да е обърната нагоре, и сянката ще се трансформира в верен шестоъгълник. Уолис сподели, че един квадрат се побира напълно в този шестоъгълник – което значи, че в случай че пробиете канал по диагонала, втория куб може да се промуши през първия. Век по-късно холандският математик Питер Нойланд пресмята още по-благоприятна ориентировка: в отвора се побира куб, който е с 6% по-голям от първичния куб.

По-нататъшните проучвания се основават на същия принцип: геометри завъртат фигури под разнообразни ъгли и проучват по какъв начин една проекция се вписва в друга. С появяването на изчислителните способи тази концепция се трансформира в обособена област, в която логаритмите преглеждат милиони позиции и търсят съвпадения на сенките. В някои случаи съвпадението е толкоз точно, че разликата сред лицата е по-малка от една милионна част от радиуса на фигурата. Комбинирането на дискретната геометрия с компютърните калкулации е направило вероятни такива прецизни измервания, споделят специалистите.

Въпреки това някои фигури настойчиво отхвърлят да пропуснат своите копия. Един от най-трудните случаи е ромбикозидодекаедърът – тяло с 62 страни, формирано от триъгълници, квадрати и пентагони. Алгоритмите са тествали милиони позиции, само че по този начин и не е открит подобаващ тунел. Липсата на решение обаче не е доказателство за неспособност: компютърът може да ревизира единствено краен брой разновидности, а вероятните ориентации са съвсем безпределно доста.

За да се потвърди дефинитивно, че фигурата няма свойство, сходно на Куба на принц Рупърт, е належащо да се изключат всички позиции, при които би могла да се появи подобаваща настройка. Всяка от тях се разказва с набор от ъгли, а тяхната цялост образува по този начин нареченото параметрично пространство. Ако не съществува тунел за което и да е голям брой от ъгли, задачата е решена.

Щайнингер и Юркевич разделят това пространство на милиони дребни области и ревизират всяка от тях благодарение на стратегия. Когато се оказва, че сянката на втората фигура надвишава първата, те изключват освен съответната точка, само че и покрайнината към нея. Те нарекоха тази техника световна теорема – тя им разрешава неотложно да отхвърлят цели блокове от ориентации, при които прекосяването е невероятно. Но при дребни премествания на фигурите границите съвсем съответстват и изключените области стават прекомерно дребни, с цел да обзет цялото пространство.

За да се оправят с сходни обстановки, откривателите извеждат местна теорема. В нея се преглеждат три върха на границата на проекцията и се проучва по какъв начин се трансформира ситуацията им при завъртания. Ако свържете тези точки и полученият триъгълник включва центъра на сянката, тогава всяко по-нататъшно пренасяне ще докара до пренасяне на най-малко един от върховете на открито. Следователно новата проекция не може да се вмести изцяло в остарялата и няма по какъв начин да се образува тунел.

След инспекция на стотици известни полиедри се оказа, че нито един от тях не удовлетворява изискванията на двете теореми. Тогава учените решили сами да конструират фигура с нужните свойства. С помощта на логаритъм, който генерира модели и ги ревизира за „ правилото за трите върха “, те съумели да основат тяло, състоящо се от 150 триъгълника и два верни 15-ъгълника. Формата му прилича объл кристал с продължен връх и основа. Един запалянко към този момент е отпечатал копие на тази фигура на 3D принтер и го употребява като подложка за моливи.

След това откривателите разделили цялото пространство на 18 милиона кафези и тествали всяка от тях. В нито една от тях не се получила настройка, при която втора фигура да може да премине през първата. След това те потвърдили, че всяка клетка дава отговор на изискванията на една от теоремите и дружно те покриват цялото пространство от ориентации. Това значи, че за тази фигура въобще не съществува тунел. На находката е обещано името Noperthedron – от британските думи Rupert (в чест на принц Рупърт, с който стартира историята на проблема) и nope („ не “), намеквайки, че фигурата е лишена от свойството на Рупърт.

По този метод дългогодишната догадка, че всички изпъкнали тела имат свойството на принц Руперт, се оказва погрешна. Сега откривателите са изправени пред ново предизвикателство – да схванат дали има и други изключения и дали могат да бъдат създадени универсални способи за тяхното разкриване.

Интересът към тази тематика сплотява както професионални математици, по този начин и запалянковци. Един от тях, инженерът от Гугъл Том Мърфи, се майтапи, че даже извънземните, в случай че са осведомени с геометрията, рано или късно биха решили казуса.

Щайнингер и Юркевич са другари от млади години – срещат се на интернационалните олимпиади и от този момент са запалени по математиката. Въпреки че и двамата от дълго време работят отвън университетите, те не престават да вземат решение геометрични загадки в свободното си време. Тяхната непримиримост е довела до изобретение, което е трансформирало визиите за пространствените форми.

Учените са уверени, че предстоят още доста изненади: измежду многото малко познати полиедри може да се крият нови фигури, които не разрешават прекосяване през себе си. Междувременно откритата от тях форма остава единственият прочут образец, който опровергава предходното разбиране и демонстрира, че даже в строго тествания свят на математиката има място за непредвиденото.