Как старият принцип на Гаус помага за решаването на съвременните

Как остарелият принцип на Гаус оказва помощ за решаването на актуалните математически задания.

Простите цифри, които са в основата на теорията на числата, не престават да провокират учудване даже след епохи на проучвания. Тези цифри, които се разделят единствено на 1 и на самите себе си, играят основна роля в математиката, сравнима с тази на ДНК в биологията. Но макар привидната си елементарност те имат редица изненадващи свойства. Един от най-интересните аспекти е тяхното държание при разделяне на 4. Всички елементарни цифри, като се изключи 2, могат да бъдат разграничени на две категории: такива, които при разделяне на 4 дават излишък от 1, и такива, които дават излишък от 3. Това разделяне не би трябвало да въздейства на техните свойства, само че проучванията демонстрират друго.

Едно от най-важните открития в тази област е правилото на квадратната взаимност, потвърден за първи път от Карл Гаус, най-великият математик на XIX век. Този принцип открива нови хоризонти в разбирането на взаимоотношението на простите цифри. Въпреки че формулировката на този принцип наподобява елементарна, неговите последици са от огромно значение за другите области на математиката.

Какво съставлява квадратичната взаимност?

За да разберем квадратичната взаимност, би трябвало да се срещнем с концепцията за модулна аритметика, която работи с останки от делението. Така да вземем за пример цифрата 9, разграничено на 7, дава излишък от 2.

Принципът на квадратичната взаимност дава отговор на следния въпрос: в случай че едно просто число е квадрат на модула на друго просто число, ще бъде ли правилно противоположното? Отговорът зависи от остатъците на тези цифри, когато се разделят на 4. Ако най-малко едно от числата оставя излишък от 1, то в случай че първото число е квадрат на модула на второто, то второто също ще бъде квадрат по модула на първото. Ако обаче и двете цифри оставят излишък от 3, тогава те не са реципрочни: едното от тях може да бъде квадрат, който е модул на другото, само че противоположното не може да бъде правилно.

Влиянието на квадратичната взаимност

Въпреки че правилото на квадратната взаимност е открит преди повече от два века, неговото значение за актуалната математика не може да бъде подценено. Той продължава да бъде основен инструмент за решение на комплицирани математически задания и има на практика приложения в разнообразни области. Така да вземем за пример в криптографията той се употребява при криптирането на данни. Един от логаритмите, създаден още през 1982 година, се базира на умножаването на две огромни елементарни цифри и потреблението на техните останки за криптиране на известията. Без познаването на тези елементарни цифри декриптирането на известието става на практика невероятно.

Освен това квадратичната взаимност ни дава опция да потвърдим значими теореми в теорията на числата. Една от тези теореми е изказванието, че всяко просто число, кратно на 1 по модул 4, може да бъде показано като сума от два квадрата. Така да вземем за пример цифрата 13 е тъждествено на 1 по модул 4 и може да се запише като сума от квадрати: 13 = 4 + 9 = 2² + 3². За разлика от тях простите цифри, кратни на 3 по модул 4, в никакъв случай не могат да се запишат като сума от два квадрата.

Обобщение на правилото

Една от аргументите, заради които правилото на квадратичната взаимност остава настоящ, е способността му да бъде обобщаван. Веднага откакто Гаус разгласява доказателството през 1801 година, математиците стартират да се пробват да го разширят до кубове и четвърти степени на числата. Това обаче се оказва сложна задача, защото не могат да бъдат открити никакви по-прости модели. Пробивът настава, когато Гаус вкарва сложни цифри в уравненията – цифри, които включват имагинерната единица i (корен от -1). Това дава опция да се изследват освен елементарните цели цифри, само че и по този начин наречените Гаусови цифри, които са сложни цифри с цели действителни и имагинерни елементи.

Пример за метода, по който това трансформира картината, е цифрата 5, което в елементарната аритметика е просто. Но в системата на Гаусовите цели цифри това към този момент не е по този начин, тъй като 5 може да се разложи на множители: 5=(2+i)×(2-i)5 = (2 + i) times (2 – i)5=(2+i)×(2-i). Това изобретение на Гаус довежда до основаването на нови закони за взаимност за кубичните и другите степени, които са потвърдени през 1830 година

През 20-ти век математиците не престават да обобщават правилото на квадратната взаимност. През 20-те години на ХХ век Емил Артин формулира по този начин наречения „ повсеместен закон за реципрочността “, който обгръща всички известни до тогава закони, в това число откритите от Гаус. Този закон се трансформира в крайъгълен камък на актуалната алгебра и продължава да въодушевява математиците да вършат нови открития.

Съвременни проучвания

Дори в днешно време математиците не престават да намират нови приложения на правилото на квадратната взаимност. В едно скорошно проучване група учени, ръководена от Катрин Стендж, опровергават необятно публикувано математическо съмнение за това по какъв начин дребните кръгове могат да бъдат събрани в по-голям кръг. Това изобретение беше същински потрес за математическата общественост и точно квадратичната взаимност изигра основна роля в това проучване.

Освен това този принцип оказва помощ да се изследват проблеми, които към момента не са решени, като да вземем за пример намирането на цифри, които могат да се запишат като сума от три куба. Известно е, че числата, равни на 4 или 5 по модул 9, не могат да бъдат показани по този метод, само че доста други цифри остават тайнственост. През 2019 година математикът Андрю Букър направи значимо изобретение, като откри образец за цифрата 33, което може да се запише като сума от кубовете на три цифри 8 866 128 975 287 528)³ + (-8 778 405 442 862 239)³ + (-2 736 111 468 807 040)³ = 33. В сходни проучвания квадратичната взаимност оказва помощ да се изследват дълбоките връзки сред простите цифри.

Въпреки всички достижения в използването на квадратичната взаимност, остава един въпрос, който към момента не може да бъде изцяло пояснен: за какво някои елементарни цифри, като 7 и 11, се държат по друг метод спрямо цифри като 5 и 13? На равнище абстракция това взаимоотношение може да бъде обяснено, само че на по-дълбоко равнище остава чувството, че тази връзка е отвън интуитивното схващане. Това е една от тези математически загадки, които не престават да притеглят вниманието на откривателите, вдъхновявайки ги да търсят нови отговори.

Простите цифри, които са в основата на теорията на числата, ще продължат да ни радват и удивляват още дълго време, откривайки нови хоризонти пред математиците от целия свят.