Монах математик открива божественото в парадоксална поредица от числа
Как един математически абсурд довежда монаха Луиджи Гранди до метафизичен и богословски изводи, които прекатурват концепцията за безкрайността.
Въпросът какъв е резултатът от безкрайната математическа редица 1 – 1 + 1 – 1 + … може да наподобява на пръв взор елементарен, само че през XVIII век той се трансформира в същинско предизвикателство за доста видни математици. Този абсурд, прочут като редицата на Гранди, е получил името си от италианския математик и духовник Луиджи Гуидо Гранди, който пръв стартира да го учи през 1703 година
Същността на парадокса се състои в това, че макар привидната елементарност на изчисленията, другите способи на броене водят до разнообразни резултати. Ако представим една поредност във типа (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + …, то всяка двойка цифри 1 – 1 е равна на нула, а цялата сума на поредицата се свежда до нула. Ако обаче подредим скобите по друг метод, да вземем за пример оставим първия детайл отвън скобите и по-късно групираме останалите: 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + …, тогава сумата към този момент е равна на 1. Така една елементарна смяна в реда на интервенциите води до напълно разнообразни резултати.
Този абсурд интересува освен Гранди, само че и такива видни математици като Готфрид Вилхелм Лайбниц и Леонард Ойлер. Разсъждавайки върху казуса, Лайбниц предположил, че верният отговор може да е ½. Той счита, че в случай че спрете събирането в случайна точка, междинната сума ще бъде или 0, или 1 с идентична възможност. Следователно, твърди той, междинната сума би трябвало да е ½. Леонард Ойлер в своя труд „ За разнопосочните поредици “, оповестен през 1760 година, поддържа тази концепция и даже твърди, че сумата на поредицата на Гранди и дробта ½ са еквивалентни и могат да бъдат сменени една с друга без никаква неточност.
Историците на математиката означават, че за Гранди това аритметично противоречие е имало надълбоко религиозно значение. Той вярвал, че тази опция за приемане на разнообразни суми от една и съща поредност потвърждава божественото сътворяване на света от нищото. Изводите му, че този абсурд удостоверява опцията за основаване на нещо от нищото, отразяват освен математическите, само че и теологическите възгледи на онази ера.
Но макар всички причини в интерес на другите резултати актуалните математици стигат до извода, че редицата на Гранди няма тъкмо избрана сума. Това умозаключение се основава на разбора на частичните суми на поредицата, които се редуват сред 0 и 1 и в никакъв случай не се схождат с някаква закрепена стойност. В математиката това държание на дадена поредност значи, че тя дивергира, т.е. няма избрана сума.
Съвременните подходи към безкрайните редове и тяхното сумиране се появяват с помощта на развиването на разбора през XIX век. Въведена е концепцията за сходимост, която дава опция да се дефинира до каква стойност се доближава сумата на една поредност, когато се прибавят от ден на ден нейни детайли. За образец може да се прегледа поредицата, описваща парадокса на Зенон, при който, с цел да се измине веднъж, първо би трябвало да се измине половината разстояние, по-късно половината от останалото разстояние и така нататък Тази редица ½ + ¼ + ⅛ + … има частични суми, които се доближават от ден на ден и повече до 1, което значи, че поредицата се стреми към 1 и се схожда с единицата.
Само че в тази ситуация с редицата на Гранди частичните суми се двоумят сред 0 и 1 и не се приближават до нито една стойност. Това води до заключението, че редицата на Гранди няма избрана сума. Съществуват обаче различни способи за сумиране, като да вземем за пример методът на Чезаро, при който се пресмята междинната стойност на частичните суми. Прилагането на този способ към редицата на Гранди води до резултата ½.
По този метод проучването на редицата на Гранди демонстрира, че математиката, въпреки и строга, може да предстои на разнообразни тълкования според от определените подходи. Поредицата на Гранди няма съответна сума в обичайния смисъл на думата, само че нейният разбор демонстрира смисъла на избора на методите и определенията в математиката. В последна сметка резултатът зависи от това кой метод за сумиране е определен: обичайният, както е в тази ситуация с разбора на частичните суми, или различният, както е в метода на Чезаро
