Как една коза стана звезда в математиката: 270 години търсене на решение
Германски академик изведе точната формула на един от най-трудните пъзели.
От над 270 години учени и фенове на математиката се пробват да намерят точното решение на казуса по какъв начин да се дефинира дължината на въжето, което разрешава на една коза да пасе на половин акър земя, в случай че е вързана за вътрешната страна на кръгла ограда. Проблемът наподобява елементарен и може да ви се стори прочут от курса по геометрия в гимназията, само че в действителност се оказва толкоз сложен, че от самото начало са били вероятни единствено приблизителни отговори. Тази година обаче немският математик Инго Улиш предложи първото тъкмо решение на загадката, решавайки проблем, който занимава мозъците на математиците повече от два века.
Произход на задачата: от конете до козите
Първото споменаване на тези проблеми е открито в остарялото лондонско списание „ The Ladies Diary “, оповестено през 1748 година В тази задача е било належащо да се дефинира на каква повърхност може да пасе кон, вързан извън за кръгла ограда, в случай че дължината на въжето е равна на дължината на обиколката на оградата. Този вид бил наименуван „ външна задача “, тъй като конят се намирал отвън кръга. Решението, препоръчано тогава от четец на списанието, било единствено почти, само че по това време изглеждало допустим резултат.
Век и половина по-късно, през 1894 година, казусът се връща на математическата сцена в American Mathematical Monthly, само че в по-сложна форма: в този момент животното, в този случай коза, е вързано вътре в кръгова ограда и е належащо да се дефинира дължината на въжето, тъй че козата да може да пасе навръх половината от площта на оградения кръг. Този вид бил наименуван „ вътрешна задача “ и се оказва, че е доста по-труден за решение. За разлика от външната задача, при която е можело да се пресметна площта от дължината на въжето, в този момент е трябвало да се откри дължината на въжето въз основа на авансово избрана повърхност.
Математическата трудност и многомерните подходи
В продължение на десетилетия казусът с козата е преосмислян неведнъж, а разнообразни математически списания оферират свои версии на решението му. Някои математици са се опитвали да решат задачата, като вместо кръг са употребявали разнообразни форми на загражденията, да вземем за пример елипси или квадрати. През 60-те години на ХХ век в литературата по тематиката животното внезапно е сменено с коза и този облик се утвърждава като главен.
През 1984 година Маршал Фрейзър предлага разширение на казуса от плоския свят към по-сложни многоизмерни пространства. Изчисленията му демонстрират какъв брой дълго би трябвало да е въжето, с цел да може козата да пасе върху половината от размера на n-мерна сфера, където n клони към безконечност. Фрейзър стигнал и до заключението, че в пространството с безпределно доста измерения съотношението сред дължината на въжето и радиуса на сферата се доближава до корен от две. Този метод ненадейно опростил задачата в многомерните пространства, макар че решението за двумерната версия останало мъчно достижимо.
Първите стъпки към точното решение
Много математици не престават да работят върху казуса в опит да намерят универсално решение. В края на 90-те години на ХХ век Майкъл Хофман от Военноморската академия на Съединени американски щати насочва вниманието си към външната версия на казуса, само че вместо за окръжност стартира да учи вероятните решения за всевъзможни гладки и изпъкнали криви. Хофман съумял да получи точни интегрални решения за разнообразни форми на оградата, което му разрешило да дефинира площта, с която разполага животното.
Точното решение на двумерната вътрешна задача обаче остава мистерия, до момента в който през 2023 година Инго Улиш не предлага своя метод. Улиш чул за казуса като дете, само че се върнал към него през 2017 година, към този момент като професионален математик. Той взема решение да употребява нов способ за решение на задачата, като се опира на комплексния разбор – област от математиката, която работи с сложни цифри и аналитични функционалности.
Решаване на задачата: Комплексен разбор и трансцендентни уравнения
Преди Улиш е било известно, че казусът с козата може да се сведе до едно трансцендентно уравнение, включващо тригонометрични функционалности като синус и косинус. Проблемът е, че тези уравнения нормално нямат точни решения. Така да вземем за пример уравнението x = cos(x) не може да бъде решено тъкмо. Въпреки това Улиш намира метод да опрости това уравнение до друга трансцендентна форма: sin(β) – β cos(β) – π/2 = 0.
Използвайки техниките на комплексния разбор, Улиш трансформира това уравнение в израз, който му разрешава да пресметна тъкмо дължината на въжето, належащо, с цел да може една коза да пасе върху половината от площта на кръга. По този метод за първи път от 270 години насам математиците разполагат с точна математическа формула за решаването на този проблем.
Сложността на точното решение
Въпреки че Улиш намира точното решение, то се оказва прекомерно комплицирано за практическо приложение. Формулата включва интеграли по очертания и доста тригонометрични изрази, което я прави на практика неизползваема в елементарния живот. За да се получи точната дължина на едно въже, към момента би трябвало да се прибягва до приблизителни способи.
Въпреки това математиците показват, че точното решение е от значително значение за разбирането на самата същина на казуса. Според Улиш числовите стойности и приближенията не разрешават да се осъзнае изцяло структурата на решението. От друга страна, една формула, въпреки и комплицирана, обезпечава по-дълбоко схващане на структурата на казуса.
Бъдещето на задачата с козата
Въпреки че самият Улиш краткотрайно е прекратил работата си по този проблем, други математици не престават да го изследват от нови ъгли. Например Майкъл Харисън в публикация, която скоро ще се появи в Mathematics Magazine, изследва триизмерна версия на казуса с козата. В неговата версия козата е сменена с птица, вързана в сферична клетка, а задачата на задачата е да се дефинира дължината на въжето, тъй че птицата да заема тъкмо половината от размера на клетката.
Много учени виждат смисъл в това да не престават да работят върху сходни загадки, защото те могат да доведат до нови способи за решение на проблеми и до основаването на нови математически теории. Задачата за козата към този момент е довела до значими открития в региона на трансцендентните уравнения и методите на комплексния разбор. Както показват математиците, от време на време напредъкът в науката се реализира не посредством революционни пробиви, а посредством нови способи за разглеждане на типичен проблеми и намиране на ексцентрични решения.
По този метод даже „ игрови “ проблеми като казуса с козата могат да отворят вратата към нови подходи в математиката и да подтикват появяването на свежи хрумвания.
