Георг Кантор, математик от XIX в., прави революция в разбирането

Георг Кантор, математик от XIX в., прави гражданска война в разбирането ни за безкрайността, като потвърждава, че съществуват разнообразни „ равнища “ на безкрайността. Той потвърждава, че множеството на действителните цифри е по-голямо от множеството на естествените цифри, макар че и двете са безкрайни. Това изобретение, въпреки и да опонира на здравия разсъдък, откри пътя към по-задълбочено проучване на понятието за безконечност в математиката.

Безкрайността, разбиране, което дълго време се считаше за непостижимо и загадъчно, е изследвана и дефинирана от математиците по неочакван метод. Идеята, че безкрайността може да има разнообразни измерения или „ кардиналност “, е препоръчана от немския математик Георг Кантор през XIX век, което прекатурва обичайните показа за безкрайността.

Кантор стартира да учи безкрайни множества от цифри, като да вземем за пример множеството на естествените цифри (ℕ) и множеството на четните цифри. Нека да си напомним, че естествените цифри са задачите позитивни цифри, които нормално използваме за преброяване. Те стартират от 1 и не престават до безконечност. Кантор открива, че тези множества могат да бъдат съотнесени едно към друго, т.е. те имат една и съща величина или кардиналност, която той назовава ℵ0 (алеф-нула) – познатата ни безконечност.

Безкрайността на рационалните цифри

Но дали всички безкрайни множества имат идентичен размер? Могат ли всички те да бъдат тъкмо съпоставени между тях? Дълго време смятахме, че всички безкрайни множества могат да бъдат съпоставени едно с друго – което значи, че всяко безпределно голям брой има идентичен размер, съгласно нашите познания, ℵ0. Тази интуитивна визия е разрушена през 1874 година от откритието на Кантор за огромните безкрайности, както се оповестява в публикация в Scientific American.

Кантор вкарва понятието рационални цифри – цифри, които могат да бъдат изразени като дробни елементи на задачите цифри. Той демонстрира, че множеството на рационалните цифри, въпреки и да наподобява доста по-голямо от множеството на естествените цифри, в действителност има същия съществен брой – ℵ0. Той съумял да направи това, като изброил рационалните цифри по специфичен метод и ги съчетал с естествените цифри.

Разширението до действителните цифри: ℵ1

Действителните цифри са всички цифри, които могат да се слагат на числовата линия. Те включват задачите цифри (напр. 1, 2, 3), рационалните цифри (включително дробните цифри като 1/2, 2/3, 5/4) и числата, които не могат да бъдат изразени като дробни цифри, като π (пи) или √2 (квадратен корен от 2). Тези цифри се назовават ирационални цифри.

Кантор открива изненадваща специфичност на множеството от действителни цифри. Въпреки обстоятелството, че това голям брой е безпределно (има безпределно доста действителни числа), той потвърди, че то е „ по-голямо “ от множеството на естествените цифри, което също е безпределно.

За да направи това, той първо приема, че всяко естествено число може да се съчетае с действително число (това се назовава биекция). След това той демонстрира, че постоянно е допустимо да се откри действително число, което не е в листата на сходствата, което опонира на концепцията за съвършеното сходство. Това значи, че има повече действителни цифри, в сравнение с естествени цифри, даже в случай че и двете множества са безкрайни.

Това изобретение води до концепцията, че някои безкрайности са по-големи от други. Кантор вкарва нова безконечност, наречена ℵ1, която е по-голяма от ℵ0. Така той проправя пътя към концепцията, че съществуват безпределно доста разнообразни безкрайности, всяка от които е по-голяма от предходната.

Последиците са големи като Вселената

Изследването на безкрайността от страна на Кантор оказва голямо въздействие върху разбирането ни за математиката и даже за Вселената. Всъщност точно математиката ни оказва помощ да разберем понятия като безпределно пространство и безкрайност. Последиците от работата на Кантор ни разрешават да решаваме комплицирани математически задания, свързани с безкрайността, като да вземем за пример някои задания в теорията на числата и математическия разбор.

Въпреки че безкрайността не е съответно място, дестинация или последна точка, математиката ни разрешава да изследваме безкрайността и нейните граници. Безкрайността е разбиране, което е определяно и преосмисляно през цялата история на математиката. От времето на Кантор до наши дни математиците не престават да изследват тайните на безкрайността, като ни оказват помощ да разберем по-добре света, в който живеем. Безкрайността не е просто нереално разбиране, а главен инструмент за схващане действителността на нашата галактика.