Защо всяко въртене може да бъде отменено, като се повтори два пъти: физиците откриха начин за контролиране на хаоса
Ако изстреляте камък със комплицирана форма от един катапулт, той ще полети по дъга, ще се търкаля и върти случайно във въздуха под въздействието на първичния подтик и съпротивлението на въздуха. Предизвикателството е следното: можем ли да намерим един-единствен регулатор – да речем, общ множител, който да трансформира интензивността на всички тези въртеливи придвижвания – който да накара скалата да се приземи в края на пътуването си в тъкмо същата ориентировка, в която е почнала?
Интуицията ни подсказва, че това е съвсем невероятно. Има прекалено много променливи и прекалено много безредни придвижвания. Едно скорошно проучване на физиците Жан-Пиер Екман и Цви Тлусти обаче демонстрира, че има решение, само че то изисква едно изискване, което не е явно: цялата поредност от завъртания би трябвало да бъде осъществена не един път, а два пъти.
Това изобретение е директно обвързвано с контрола на квантовите системи, спиновете на частиците и кубитите, където прецизният надзор на ориентацията е в основата на бъдещите технологии.
Какво е „ разходката “ в спиновото пространство?
Първо, дано да изясним понятията. Всяко въртене в триизмерното пространство се дефинира от два параметъра: оста, към която се прави въртенето, и ъгълът на това въртене. Множеството от всички вероятни завъртания образува нереално математическо пространство.
Когато една система (например спинът на електрон в магнитно поле) претърпи поредност от поредни завъртания, тя прави самобитна „ разходка “ или „ траектория “ в това пространство. Началната точка е „ без спин “, или, математически казано, идентична промяна. Крайната цел е да се върне в същата начална точка.
Изследователите се запитаха: допустимо ли е да се вземе всяка, колкото и комплицирана да е „ разходка “ и да се избере подобен единствен множител λ (ламбда), който, прибавен към всички ъгли на въртене, да върне системата към нулата?
Визуализация на „ разходката “ в пространството на въртене SO(3). Сферата съставлява всички вероятни завъртания: центърът е неналичието на завъртане, а точките на повърхността са 180° (π) завъртания. Всяко завъртане R(n, ω) се задава от точката r = nω. Ключово предписание: две противоположни точки от повърхнината (nπ и -nπ) са едно и също завъртане. Пътят стартира от центъра (червената сфера) и приключва в синята точка. Пунктираната линия значи, че пътят „ излиза “ от едната страна на сферата и „ влиза “ в противоположната страна на сферата Защо еднократното прекосяване съвсем постоянно е обречено на крах?
Опитът да се оправим с един пас се сблъсква с главния проблем на вероятността. Целта ви е да уцелите една напълно дребна, само вярна точка. Шансовете за триумф явно клонят към нула.
Състоянието „ без въртене “ е една-единствена точка в голямото пространство от всички вероятни ориентации. Статистическите разбори, учредени на така наречен мярка на Хаар, демонстрират, че инцидентните завъртания са извънредно склонни да се групират към дребните ъгли. С други думи, вероятността една инцидентна поредност от завъртания сама по себе си да приключи в нулевата точка е съвсем нулева. Промяната на еднопосочния параметър λ не трансформира тази картина.
Магията на удвояването: по какъв начин 180 градуса трансформират всичко
Следва основна смяна. Какво ще стане, в случай че пожелаваме от системата да се върне в първичното си положение не след един, а след два идентични цикъла на завъртане?
Математически това значи, че резултатът от единия цикъл би трябвало да е подобен, че повторението му да се „ обезсили “. Единственото нетривиално завъртане, което има това свойство, е завъртане навръх 180 градуса (или π радиан). Завъртете обект на 180 градуса и по-късно още веднъж на 180 градуса към същата ос и той ще се върне в първичното си състояние.
И тук нещата се трансформират трагично. Нашата цел към този момент не е една-единствена точка на „ нулевото завъртане “, а всяко завъртане с ъгъл от 180 градуса, без значение от оста. В пространството на завъртанията това не е точка, а цяла двуизмерна квадратура.
Да се уцели съответна точка с един параметър λ е съвсем нереалистично. Но да се уцели една голяма повърхнина е напълно осъществима задача. Вероятността за триумф се усилва фрапантно. Авторите потвърждават, че за съвсем всяка начална поредност от завъртания постоянно има подобен множител λ, който ще докара крайното завъртане тъкмо до 180 градуса. Това значи, че вторият подобен цикъл ще върне системата вкъщи.
Разпределение на вероятностите за инцидентните ъгли на завъртане Как се потвърждава това?
Този резултат се основава на строга математика. Изследователите употребяват формулите на Родригес, които разказват състава на ротациите, и свеждат задачата до решаването на тригонометрично уравнение. Те е трябвало да потвърдят, че постоянно е допустимо да се откри такава стойност на λ, че полученият косинус на ъгъла на завъртане да стане нула (което подхожда на ъгъл от 180 градуса).
Като употребявали теоремата на Минковски от региона на геометрията на числата, те посочили, че такова решение съвсем постоянно съществува. Всъщност търсенето на вярната λ се трансформира в така наречен диофантова задача – търсене на целочислени решения, които удовлетворяват избрани условия. А теоремата подсигурява, че тези решения съществуват.
Резултатът от „ разтягането “ на ротациите с множителя λ Дали това ще работи и в други измерения?
Това придвижване е неповторимо свойство на нашия тримерен свят. Авторите означават, че то престава да работи в пространства с четири или повече измерения.
Причината е възходящата трудност на природата на самото въртене. В по-големите измерения въртенето не се прави към една ос, а по едно и също време в няколко самостоятелни равнини. За да се обезсили такова многокомпонентно въртене, би трябвало да се погасят няколко ъгъла по едно и също време. Един общ множител λ към този момент не е задоволителен за това. Ще е нужен обособен контролер за всяка низина на въртене.
В последна сметка имаме работа с фундаментално геометрично свойство. Сложната, безредна поредност от завъртания в 3D пространството съдържа скрита опция за нулиране. Просто би трябвало да се улучи вярно мащабът и да се остави всичко да протече два пъти. Това е контраинтуитивно, само че математически неизбежно. Това ще помогне да се намерят нови подходи за точно ръководство на света на квантово равнище.
