Най-сложната задача в математиката? Математиците търсят число, което да определи границата на познанието
В най-отдалечените кътчета на теоретичната информатика, на границата сред изчислимото и непознаваемото, се разпростира тиха, само че яростна конкуренция. Целта не е нов свръхмощен процесор или изкуствен интелект, а число. Число, което е толкоз колосално, че провокира освен нашето въображение, само че и самите основи на логиката и доказателствата. Това е историята на „ Проблема на заетия бобър “ (Busy Beaver – ВВ) – интелектуален маратон, който може да ни покаже къде свършва математиката.
Представете си, че не сте учител в влиятелен университет, а просто запалянко, въоръжен с компютър и пристрастеност към пъзелите. Точно такива хора от онлайн общността The Busy Beaver Challenge през днешния ден са в челните редици на фундаменталната просвета. Тяхната цел е да намерят цената на BB(6), шестото число в поредицата на Заетия бобър. А неотдавнашното изобретение на участник под псевдонима mxdys сподели, че това число има размери, които карат астрономическите стойности да бледнеят спрямо него.
Но с цел да разберем мащаба на този блян, би трябвало да се върнем към неговия генезис и да разберем какво съставляват тези странни „ бобри “.
Какво съставлява „ Заетият бобър “ и за какво тормози учените?
Всичко стартира с един от най-фундаменталните въпроси в компютърните науки, който е заложен от Алън Тюринг: по какъв начин да разберем дали една компютърна стратегия все в миналото ще спре или ще работи постоянно? Това е популярният „ Стоп-проблем “ (halting problem). Тюринг потвърждава, че не съществува повсеместен логаритъм, който би могъл да реши този проблем за която и да било стратегия.
За да изследва този проблем, той измисля нереален модел – машината на Тюринг. Представете си един извънредно елементарен компютър: безкрайна лента, разграничена на кафези (с нули и единици), и четяща глава, която се движи по лентата, изтривайки и записвайки знаци. Поведението на главата се дефинира от доста елементарен набор от правила, или „ положения “.
„ Проблемът на усърдния бобър “ е самобитна игра в тази сфера. Правилата са следните:
Взимаме машини на Тюринг с избран брой положения (например две, три, четири). Отделяме всички апарати, които могат да работят безпределно дълго (зациклят се). Сред тези, които в последна сметка стопират, намираме тази, която е работила най-дълго и е оставила най-вече единици на лентата.Числото „ Зает бобър “, или BB(n), е оптималният брой стъпки, които една машина с n положения може да направи, преди да спре.
Звучи като елементарна игра с цифри, нали? Но дяволът, както постоянно, се крие в детайлите. Тази поредност нараства с немислима скорост:
BB(1) = 1 BB(2) = 6 BB(3) = 21 BB(4) = 107 BB(5) = 47 176 870 (тази стойност е открита едвам през 2024 година след 40 години търсене!).А какво да кажем за BB(6)? Точната му стойност е незнайна. Но направените напълно неотдавна калкулации демонстрират, че то е толкоз огромно, че се постанова да излезем отвън рамките на нормалната аритметика, с цел да го опишем.
Кулата на степените: по какъв начин да опишем неописуемото?
Свикнали сме, че повдигането на степен (например 10¹⁰⁰) генерира големи цифри. Но този език към този момент не е задоволителен, с цел да опишем долната граница на BB(6). Математиците трябваше да се извърнат към идната интервенция – тетрацията.
Ако умножението е неведнъж събиране, а повдигането до степен е неведнъж умножение, то тетрацията е неведнъж покачване до степен. То основава по този начин наречените „ степенни кули “. Например „ 2, тетрирано в 4 “ е 2 на степен 2 на степен 2 на степен 2 на степен 2 на степен 2 на степен 2, което е равно на 65 536.
Така че потвърдената долна граница за BB(6) е число, което е самобитна тетрична колона от няколко равнища. Както се показва един от участниците в плана, Шон Лигоцки, „ броят на всички частици във Вселената наподобява незабележим спрямо тях “. Става дума за големина, която е физически немислима. Това е число, което съществува единствено като логическа структура.
Но за какво въобще преследваме тези страшилища? Дали това не е просто интелектуален спорт? Не. тук стигаме до същността на въпроса.
Да погледнем оттатък границата: къде свършва математиката?
Това гонене не е просто съревнование. То е на практика опит за разкриване границите на познанието. В основата на цялата модерна математика стои система от аксиоми, най-често ZFC (теория на множествата на Зермело-Френкел с аксиомата за избора). Тя е като операционна система за математиката – набор от съществени правила, от които се извеждат всички теореми.
Още през 30-те години на предишния век Курт Гьодел потвърждава с известната си теорема за недостатъчност, че всяка задоволително комплицирана система от правила (като ZFC) съдържа изказвания, които са правилни, само че те не могат да бъдат потвърдени в границите на същата система. Това е главно ограничаване на логиката. Знаем, че такива „ недоказуеми истини “ съществуват, само че не знаем по какъв начин наподобяват те.
И тъкмо тук се появяват ревностните бобри. Те служат като самобитен измерител на тази нереална граница. Тюринг потвърждава, че държанието на някои машини на Тюринг по принцип не може да бъде предсказано благодарение на аксиомите на ZFC. Това значи, че цената на BB(n) за някакво n е недоказуема в границите на нашата математика.
Въпросът, който изтезава учените, е: какъв брой огромно е това n? Кога ще се сблъскаме с тази стена? Учените към този момент потвърдиха, че BB(643) е недоказуемо. Но може би границата е доста по-близо? Може ли BB(6) към този момент да се окаже самото „ число на Гьодел “ – съответна, само че непознаваема стойност?
Както споделя Скот Ааронсън, един от водещите откриватели в тази област, проучването на „ бобрите “ прави философските открития на Гьодел и Тюринг „ количествени и съответни “. Ние към този момент не приказваме нереално за „ някакви “ граници – опитваме се да ги напипаме с ръце. Намирането на машина на Тюринг, чието държание е непредсказуемо, е като намирането на първата цепнатина в постройката на стандартната математика.
Не е просто игра на цифри: хипотезата на Колац и груповия разсъдък
Търсенето на BB(6) има и по-приложни аспекти. Оказа се, че някои от към момента непроверените машини на Тюринг, които претендират да са „ най-усърдните бобри “, в работата си имитират стъпките на различен прочут неуреден проблем – хипотезата на Колац.
Не е просто игра на цифри: хипотезата на Колац и груповия разсъдък
Търсенето на BB(6) има и по-приложни аспекти. Оказа се, че някои от към момента непроверените машини на Тюринг, които претендират да са „ най-усърдните бобри “, в работата си имитират стъпките на различен прочут неуреден проблем – хипотезата на Колац.
Тази догадка гласи, че в случай че вземем което и да е естествено число и правим две елементарни интервенции върху него (ако е четно – да го разделим на 2, в случай че е нечетно – да го умножим по 3 и да прибавим 1). Извършваме същите дейности върху полученото число и така нататък Накрая постоянно ще получим 1. Хипотезата е тествана за немислим брой цифри, само че към момента няма общо доказателство
Експедицията към ръба на познанието продължава
Историята на усърдния бобър е необикновен образец за това по какъв начин актуалната просвета може да се развива с помощта на запалянковци от целия свят. Това не е мегапроект с милиардни бюджети, а усърдна работа на десетки хора, които пресяват трилиони разновидности в търсене на истината.
Те са като откриватели, които се пробват да измерят бездната с елементарна линийка. Всяка открита нова стойност на Вътрешни войски е не просто връх, а още една стъпка към хоризонта на събитията в математиката. Отвъд този небосвод се намират изказвания, които в никакъв случай не можем да потвърдим или опровергаем.
Ще бъде ли открит BB(6)? Или това ще се окаже първото число, което ще принуди човечеството да признае границите на своя логичен уред? Никой не знае. Но както при всяка огромна експедиция, значима е освен дестинацията, само че и самото пътешестване. А тази експедиция към ръба на познанието едвам в този момент стартира.
