Странно извити форми опровергават 50-годишна геометрична хипотеза
Математиците опровергаха една от главните хипотези за връзката сред кривина и форма.
Едно скорошно изобретение в региона на топологията опровергава отдавнашно съмнение и демонстрира, че математическите форми могат да бъдат доста по-сложни, в сравнение с се считаше до момента.
В една остаряла индийска алегория шестима слепци, които опипвали разнообразни елементи на слона, не можели да стигнат до единодушие по отношение на неговия тип. Те спорели, представяйки си слона като равен или неравен, сравнявайки го със змия или ветрило. Ако бяха обединили наблюденията си, може би щяха да дадат вярно изложение на слона. Тополозите от дълго време се пробват да избегнат сходна неточност, като се пробват да характеризират математическите форми посредством синтезиране на множеството местни измерения. Но скорошното разкриване на парадоксално извити пространства сподели, че това не постоянно е допустимо.
Тополозите изследват формите, като ги разтягат и свиват. Така да вземем за пример една безпределно тънка гумена лента е топологично еквивалентна на кръг, защото може елементарно да се деформира в кръгла форма. Обикновено тополозите характеризират формите посредством техните световни свойства: дали имат дупки, като поничка, или се простират безпределно, като низина. Глобалният темперамент на топологичните фигури обаче е сложен за директно схващане и по тази причина математиците са се пробвали да схванат връзката им с локалните геометрични свойства, като да вземем за пример кривината.
През 1968 година известният математик Д. Джон Милнър изрича догатката, че междинната кривина на една цялостна форма е задоволителна, с цел да се твърди, че тя не може да има безпределно доста дупки. През идващите 50 години доста резултати поддържаха това съмнение. Но през 2020 година Елиа Бруйе и сътрудниците му откриват контрапример, като конструират нов вид топологична форма. Това изобретение е значимо достижение в региона на математиката.
За да разберем догатката на Милнър, е потребно първо да разгледаме по какъв начин тополозите и геометрите мислят за кривината. И едните, и другите учат многообразията – пространства, които наподобяват плоски при нарастване. Така да вземем за пример дребна мравка върху повърхността на сфера или поничка ще схване непосредственото си обграждане като двуизмерна низина. Но когато се движи, тя ще забележи, че пространството стартира да се извива.
Кривината е локално свойство: всяка точка от многообразието има друга кривина. За повърхността на едно двуизмерно разнообразие кривината може да се мери във всяка посока посредством слагане на окръжност с подобаващ размер. Изненадващо е, че е допустимо да се дефинира кривината на дадена повърхнина в една точка единствено с едно число, наречено кривина на Гаус. Това число обобщава информацията за метода, по който се изкривява дадена повърхнина, и е вътрешно свойство, без значение от пространството, в което може да се сложи повърхността.
В три или повече измерения потребната информация за кривината към този момент не може да се получи с едно число. Вместо това математиците употребяват тензори, които могат да се преглеждат като масиви от цифри, трансформирани съгласно избрани математически правила. Един от значимите тензори е тензорът на Ричи, който обобщава най-важната информация в относително елементарна форма. Милнър предположил, че цялостните многообразия с неотрицателна кривина на Ричи във всяка една точка не могат да имат безконечен брой дупки.
Повече от половин век по-късно обаче Бруйе, дружно с сътрудниците си Аарон Набер и Даниеле Семола, потвърждава, че това съмнение е погрешно. След две години несполучливи опити да я потвърдят, те конструират необичайно седемизмерно разнообразие с неотрицателна кривина на Ричи във всяка точка и безконечен брой дупки. Това изобретение сподели, че формите с неотрицателна кривина на Ричи могат да бъдат по-гъвкави и по-малко предсказуеми, в сравнение с се смяташе до момента.
Резултатите от проучването на Бруйе, Набер и Семола демонстрираха, че математическото схващане на формите и техните свойства към момента е надалеч от цялостното схващане, което открива нови хоризонти за по-нататъшни проучвания.
